Một bể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'.\] Sau đó người ta làm lại mặt đáy như hình vẽ.

Biết rằng \[A'BMN\] và \[MNEF\] là các hình chữ nhật, \[AD = 30{\rm{ m}},\] \[AA' = 2{\rm{ m,}}\] \[MF = 20{\rm{ m}},DE = 1,7{\rm{ m}}.\] Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với thể tích của bể lúc ban đầu. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: \(11,7\)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Lúc khó: \(A\left( {0,0,0} \right),B\left( {20,0,0} \right),D\left( {0,20,0} \right),D\prime \left( {0,20,20} \right)\)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AD\prime \) là \(\overrightarrow {AD'} = \left( {0,20,20} \right)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {AD'} } \right| = 20\sqrt 2 \)

Kiến vàng đi thẳng từ \(A\) đến \(D'\) với vận tốc \(2{\rm{ cm/s}}\)

⇒ Vectơ vận tốc kiến vàng: \({\vec v_1} = \frac{{\overrightarrow {AD'} }}{{\left| {\overrightarrow {AD'} } \right|}}.{v_1} = \left( {0;\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

- Vectơ chỉ phương đường thẳng \(DB\) là \(\overrightarrow {DB} = \left( {20, - 20,0} \right)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {DB} } \right| = 20\sqrt 2 \)

Kiến đen đi thẳng từ \(D\) đến \(B\) với vận tốc \(3{\rm{ cm/s}}\).

⇒ Vectơ vận tốc kiến đen: \({\vec v_2} = \frac{{\overrightarrow {BD} }}{{\left| {BD} \right|}}.{v_2} = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}, - \frac{3}{{\sqrt 2 }},0} \right)\)

Gọi \(t\) (giây) là thời gian kể từ lúc xuất phát.

* Vị trí kiến vàng tại thời điểm t là \(M\left( t \right) = \left( {0,\sqrt 2 t,\sqrt 2 t} \right)\)

* Vị trí kiến đen tại thời điểm t là \(N\left( t \right) = \left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t,20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t,0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai chú kiến là \(MN\) và

\(M{N^2}(t){\rm{ }} = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}t} \right)^2} + {\left( {20 - \frac{3}{{\sqrt 2 }}t - \sqrt 2 t} \right)^2} + {(\sqrt 2 t)^2} = 19{t^2} - 100\sqrt 2 t + 400\)

Giá trị nhỏ nhất của \(M{N^2}\) đạt được khi: \(t = \frac{{50\sqrt 2 }}{{19}}\)

Khi đó: \(M{N_{\min }} = \sqrt {\frac{{2600}}{{19}}} \approx 11,7\left( {\;{\rm{cm}}} \right)\)

Đáp án: –37.

+ Gọi C: “lấy được 3 bi đỏ từ hộp\[C\]”

                        \[{B_i}\]: “lấy \[i\]bi đỏ hộp\[B\]”

                        \({A_i}\): “Lấy \[i\]bi đổ hộp\[A\]”

+ Ta có

\[\begin{array}{l}P\left( C \right) = P\left( {{A_0}} \right)P\left( {{B_1}/{A_0}} \right)P\left( {C/{B_1}} \right) + P\left( {{A_0}} \right)P\left( {{B_2}/{A_0}} \right)P\left( {C/{B_2}} \right) + P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}/{A_1}} \right)P\left( {C/{B_1}} \right) + \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_2}/{A_1}} \right)P\left( {C/{B_2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{3}{8}.\frac{{2.3}}{{C_5^2}}.\frac{1}{{C_6^3}} + \frac{3}{8}.\frac{1}{{C_5^2}}.\frac{{C_4^3}}{{C_6^3}} + \frac{5}{8}.\frac{{2.3}}{{C_5^2}}.\frac{1}{{C_6^3}} + \frac{5}{8}.\frac{{C_3^2}}{{C_5^2}}.\frac{{C_4^3}}{{C_6^3}} = \frac{3}{{40}} \Rightarrow a = 3;b = 40.\end{array}\]

Vậy \[a - 40 = - 37\].