Cho tam giác \(ABC\) biết \(AB = 1\) cm; \(BC = 9\) cm và cạnh \(AC\) là một số nguyên. Độ dài cạnh \(AC\) và chu vi tam giác \(ABC\) lần lượt là

Gọi \(x,\,\,y,\,\,z\) (m) lần lượt là độ dài mỗi loại vải khổ rộng 0,7 m; 0,8 m và 1,4 m \(\left( {0 < x,\,\,y,\,\,z < 5,7} \right)\).

Tổng số vải dài 5,7 m nên ta có \(x + y + z = 5,7\).

Vì ba áo sơ mi như nhau nên số mét vải và khổ vải tỉ lệ nghịch với nhau, ta có:

\(0,7x = 0,8y = 1,4z\) hay \(7x = 8y = 14z\).

Suy ra \(\frac{{7x}}{{56}} = \frac{{8y}}{{56}} = \frac{{14z}}{{56}}\). Do đó \(\frac{x}{8} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{8} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{8 + 7 + 4}} = \frac{{5,7}}{{19}} = 0,3\).

Do đó \(\frac{x}{8} = 0,3 \Rightarrow x = 0,3\,\,.\,\,8 = 2,4\) (thỏa mãn);

\(\frac{y}{7} = 0,3 \Rightarrow y = 0,3\,\,.\,\,7 = 2,1\) (thỏa mãn);

\(\frac{z}{4} = 0,3 \Rightarrow z = 0,3\,\,.\,\,4 = 1,2\) (thỏa mãn).

Vậy độ dài mỗi loại vải khổ rộng 0,7 m; 0,8 m và 1,4 m lần lượt là 2,4 m; 2,1 m và 1,2 m.

Vì \({b^2} = ac \Rightarrow b.b = a.c \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{c}\);

\({c^2} = bd \Rightarrow c.c = b.d \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\).

Do đó: \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = {\left( {\frac{b}{c}} \right)^3} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^3} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3} = \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}}\)          (1)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3}\) (đpcm).