Chứng minh rằng: Nếu \(2\left( {x + y} \right) = 5\left( {y + z} \right) = 3\left( {z + x} \right)\) thì \(\frac{{x - y}}{4} = \frac{{y - z}}{5}\).

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

\[MA = MD\] (giả thiết);

\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (hai góc đối đỉnh);

\[MB = MC\] (do \[M\] là trung điểm của \[BC\]).

Vậy \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (c.g.c).

b) Vì \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (chứng minh câu a)

Nên \[AB = CD\] (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta DKC\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {DKC} = 90^\circ ;\)

\[AB = CD\] (chứng minh trên);

\(\widehat {ABH} = \widehat {DCK}\) (do \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\)).

Do đó \[\Delta AHB = \Delta DKC\](cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \[BH = CK\] (hai cạnh tương ứng).

Khi đó \[BH + HK = CK + HK\] hay \[BK = CH\].

c) Xét \[\Delta AIB\] và \[\Delta CIE\]có:

\[IA = IC\] (do \[I\] là trung điểm của \[AC\]);

\(\widehat {AIB} = \widehat {CIE}\) (hai góc đối đỉnh);

\[IB = IE\] (do \[I\] là trung điểm của \[BE\]).

Do đó \[\Delta AIB = \Delta CIE\] (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ABI} = \widehat {CEI}\) (hai góc tương ứng) và \[AB = CE\] (hai cạnh tương ứng).

Mà hai góc \(\widehat {ABI},\,\,\widehat {CEI}\) ở vị trí so le trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,CE\].

Mặt khác \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (chứng minh câu b) và hai góc này ở vị trí so le trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,CD\].

Qua điểm \[C,\] có \[CE\,{\rm{//}}\,AB\] và \[CD\,{\rm{//}}\,AB\] nên theo tiên đề Euclid ta có \[CE\] trùng \[CD.\]

Hay ba điểm \[E,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.

Lại có \[CE = CD\] (cùng bằng \[AB\])

Từ đó suy ra \[C\] là trung điểm của \[DE\].