Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 2;5} \right]\) như hình vẽ (phần cong là phần của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)).

Biết \(f\left( { - 2} \right) = 0\), giá trị của \(f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Lời giải

Xét trên \(\left[ { - 2;1} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Do đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;0} \right),\,\left( { - 1;2} \right),\,\left( {1;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 2b + c = 0\\a - b + c = 2\\a + b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\\c = 2\end{array} \right.\). Suy ra \(f'\left( x \right) =  - {x^2} - x + 2\) trên \(\left[ { - 2;1} \right]\).

Khi đó \(f\left( x \right) =  - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + C\). Do \(f\left( { - 2} \right) = 0\) nên \(\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{10}}{3}\).

Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \frac{{10}}{3}\) trên \(\left[ { - 2;1} \right]\) suy ra \(f\left( 1 \right) =  - \frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} + 2 \cdot 1 + \frac{{10}}{3} = \frac{9}{2}\).

Tương tự:

Xét trên \(\left[ {1;2} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = px + q\). Do đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( {2;3} \right),\,\left( {1;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2p + q = 3\\p + q = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 3\\q =  - 3\end{array} \right.\). Suy ra \(f'\left( x \right) = 3x - 3\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).

Khi đó \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{2} - 3x + {C_1}\]. Do \(f\left( 1 \right) = \frac{9}{2}\) nên \(\frac{3}{2} - 3 + {C_1} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow {C_1} = 6\).

Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{2} - 3x + 6\) trên \(\left[ {1;2} \right]\). Suy ra \(f\left( 2 \right) = \frac{{3 \cdot {2^2}}}{2} - 3 \cdot 2 + 6 = 6\).

Xét trên \(\left[ {2;5} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = mx + n\). Do đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( {2;3} \right),\,\left( {5;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2m + n = 3\\5m + n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\n = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(f'\left( x \right) =  - x + 5\) trên \(\left[ {2;5} \right]\).

Khi đó \(f\left( x \right) =  - \frac{{{x^2}}}{2} + 5x + {C_2}\). Do \(f\left( 2 \right) = 6\) nên \( - \frac{4}{2} + 10 + {C_2} = 6 \Leftrightarrow {C_2} =  - 2\).

Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 2\) trên \(\left[ {2;5} \right]\). \(f\left( 3 \right) =  - \frac{{{3^2}}}{2} + 5 \cdot 3 - 2 =  - \frac{9}{2} + 15 - 2 = \frac{{17}}{2}\).

Kết luận: \(f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} + \frac{{17}}{2} = 13\). Chọn D.