Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(1\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\) (hình vẽ bên dưới). Biết hai đường thẳng \(CM\) và \(SB\) hợp nhau một góc \(45^\circ \), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CM\) và \(SB\) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)

Đáp án: 1200

Với \(x\) mét lưới (\(1 \le x \le 18\)) bán ra , ta có

Hàm chi phí \(C(x) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500\)

Doanh thu khi bán hết \(x\) mét lưới là 220\(x\) (nghìn đồng)

Hàm lợi nhuận khi bán hết \(x\) mét lưới

\(\begin{array}{l}L(x) = 220x - C(x)\\L(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\end{array}\)

\(\begin{array}{l}L'(x) = - 3{x^2} + 6x + 240\\L'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 8\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên

Lợi nhuận tối đa của gia đình đan lưới trong một ngày là 1200 (nghìn đồng)

Dựa vào đồ thị ta có \(d = 20\), tiếp theo ta tìm các hệ số \(a,b,c\) bằng cách giải hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}a{30^3} + b{30^2} + c30 + 20 = 50\\a{50^3} + b{50^2} + c50 + 20 = 20\\a{80^3} + b{80^2} + c80 + 20 = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}900a + 30b + c = 1\\250a + 50b + c = 0\\6400a + 80b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{1000}}\\b = - \frac{{13}}{{100}}\\c = 4\end{array} \right.\).

Ta được \(f\left( x \right) = \frac{1}{{1000}}{x^3} - \frac{{13}}{{100}}{x^2} + 4x + 20\). Do đó

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{3}{{1000}}{x^2} - \frac{{13}}{{50}}x + 4;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{200}}{3}\\x = 20\end{array} \right.\\\end{array}\).

Ta được chiều cao lớn nhất là \(h = f\left( {20} \right) = 56\left( {\rm{m}} \right)\). Vì vậy tốc độ của tàu lượn xuống dốc là \(v\left( x \right) = \sqrt {2g \cdot \left( {56 - f\left( x \right)} \right)} \left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\). Vì \(g\)là hằng số nên tốc độ cực đại của biểu thức đạt được tại cực tiểu của \(f\left( x \right)\), hay \({v_{\max }}\left( x \right) = v\left( {\frac{{200}}{3}} \right) \approx 31.56\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).