Một hộp đựng \(30\) tấm thẻ khác nhau được đánh số từ \(1\) đến \(30\). Từ trong hộp đó người ta lấy riêng ra một tấm thẻ

Đáp án: 6400.

Mỗi em bé có 2 lựa chọn (giơ cờ Xanh hoặc cờ Đỏ). Vì có 10 em bé nên tổng số cách giơ cờ (số phần tử của không gian mẫu) là:\(n(\Omega ) = {2^{10}} = 1024\)

10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành một thập giác đều nội tiếp.

Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bắt buộc phải có hai đường chéo là hai đường kính của đường tròn đó. Thập giác đều có 10 đỉnh, suy ra có \(\frac{{10}}{2} = 5\) đường kính đi qua tâm.

Gọi tập hợp 5 đường kính này là \(D = \{ {d_1},{d_2},{d_3},{d_4},{d_5}\} \).

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bằng cách chọn bất kỳ 2 trong 5 đường kính này.

Để một hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu, thì 2 đường kính tạo nên nó phải có cùng trạng thái màu ở các đầu mút.Xét một đường kính bất kỳ nối 2 em bé đối diện nhau. Có \(2 \times 2 = 4\) khả năng xảy ra về màu cờ của 2 em bé này:

· Trạng thái 1 (XX): Cả 2 bé đều giơ Xanh (1 trường hợp: Xanh - Xanh).

· Trạng thái 2 (ĐĐ): Cả 2 bé đều giơ Đỏ (1 trường hợp: Đỏ - Đỏ).

· Trạng thái 3 (Khác): 1 bé Xanh, 1 bé Đỏ (2 trường hợp: Xanh - Đỏ hoặc Đỏ - Xanh).

Điều kiện đề bài: "Không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật" tương đương với:

· Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái XX (để tránh hình chữ nhật toàn màu Xanh). \( \Rightarrow \) Số đường kính trạng thái XX chỉ được là 0 hoặc 1.

· Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái ĐĐ (để tránh hình chữ nhật toàn màu Đỏ). \( \Rightarrow \) Số đường kính trạng thái ĐĐ chỉ được là 0 hoặc 1.

Gọi \(k\) là số đường kính có trạng thái XX.

Gọi \(m\) là số đường kính có trạng thái ĐĐ.

Số đường kính còn lại là \(5 - k - m\) sẽ có trạng thái "Khác" (mỗi đường có 2 cách chọn màu).

Theo lập luận trên, ta cần tìm số cách sao cho \(0 \le k \le 1\) và \(0 \le m \le 1\).

· Trường hợp 1: \(k = 0,m = 0\) (0 đường XX, 0 đường ĐĐ, 5 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^0 \cdot C_5^0 \cdot {2^5} = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32\) cách.

· Trường hợp 2: \(k = 1,m = 0\) (1 đường XX, 0 đường ĐĐ, 4 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^1 \cdot C_4^0 \cdot {1^1} \cdot {2^4} = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 16 = 80\) cách.

· Trường hợp 3: \(k = 0,m = 1\) (0 đường XX, 1 đường ĐĐ, 4 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^0 \cdot C_5^1 \cdot {1^1} \cdot {2^4} = 1 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 16 = 80\) cách.

· Trường hợp 4: \(k = 1,m = 1\) (1 đường XX, 1 đường ĐĐ, 3 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot {1^1} \cdot {1^1} \cdot {2^3} = 5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 160\) cách.

Tổng số kết quả thuận lợi là:\(n(A) = 32 + 80 + 80 + 160 = 352\)

Xác suất của biến cố A là: \(a = P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{352}}{{1024}} = \frac{{11}}{{32}}\)

Giá trị cần tìm là \(\frac{{2200}}{a} = \frac{{2200}}{{\frac{{11}}{{32}}}} = 6400\).

Đáp án: 416.

Đặt hệ trục như đề bài, ta có: chân trụ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đỉnh trụ \(S\left( {0;0;120} \right)\).

Do \(A,B,C \in \left( {Oxy} \right)\) và \(OA = OB = OC = 40\sqrt 3 \) nên \(A\left( {0;40\sqrt 3 ;0} \right)\), \(B\left( {{x_B},{y_B},0} \right)\), \(C\left( {{x_C},{y_C},0} \right)\).

Lại có: \(A \in Oy\) và \(O\) là tâm \(\Delta ABC\) nên \(B\), \(C\) đối xứng nhau qua  hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_B} = - {x_C}\\y = {y_B} = {y_C}\end{array} \right.\).

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm: \({y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_O} \Rightarrow 2y = - 40\sqrt 3 \Rightarrow y = - 20\sqrt 3 \).

Mà \(OB = 40\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} + {\left( { - 20\sqrt 3 } \right)^2} = 4800 \Rightarrow x = 60\) hay \(B\left( {60; - 20\sqrt 3 ;0} \right)\) và \(C\left( { - 60; - 20\sqrt 3 ;0} \right)\).

\({z_{B'}} = - BB' = - 60.\tan {10^0} \Rightarrow \)\(B'\left( {60; - 20\sqrt 3 ; - 60 \times \tan 10^\circ } \right)\),

Tương tự: \(C'\left( { - 60; - 20\sqrt 3 ;60 \times \tan 10^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \sqrt {{{\left( {40\sqrt 3 } \right)}^2} + {{120}^2}} \\SB' = \sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {120 + 60 \times \tan 10^\circ } \right)}^2}} \\SC' = \sqrt {{{60}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {120 - 60 \times \tan 10^\circ } \right)}^2}} \end{array} \right. \Rightarrow SA + SB' + SC' \approx 415,8949\).

Vậy tổng độ dài của ba dây cáp \(SA\), \(SB'\), \(SC'\) xấp xỉ \(416\)\({\rm{m}}\).