Trong căn phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng \(5m\), chiều cao của phòng là \(6m\), có hai con nhện đang di chuyển trên 2 dây tơ khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(ABCD\) là nền phòng thì con nhện thứ nhất được coi như điểm \(E\) di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh \(A\) đến trung điểm \(M\) của \(CC'\), còn con nhện thứ hai được coi như điểm \(F\) di chuyển trên đường dây tơ nối từ \(D'\) đến tâm \(I\) của mặt \(ABB'A'\). Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con nhện bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm).

 

Đáp án: 6400.

Mỗi em bé có 2 lựa chọn (giơ cờ Xanh hoặc cờ Đỏ). Vì có 10 em bé nên tổng số cách giơ cờ (số phần tử của không gian mẫu) là:\(n(\Omega ) = {2^{10}} = 1024\)

10 em bé đứng cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành một thập giác đều nội tiếp.

Một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bắt buộc phải có hai đường chéo là hai đường kính của đường tròn đó. Thập giác đều có 10 đỉnh, suy ra có \(\frac{{10}}{2} = 5\) đường kính đi qua tâm.

Gọi tập hợp 5 đường kính này là \(D = \{ {d_1},{d_2},{d_3},{d_4},{d_5}\} \).

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành bằng cách chọn bất kỳ 2 trong 5 đường kính này.

Để một hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu, thì 2 đường kính tạo nên nó phải có cùng trạng thái màu ở các đầu mút.Xét một đường kính bất kỳ nối 2 em bé đối diện nhau. Có \(2 \times 2 = 4\) khả năng xảy ra về màu cờ của 2 em bé này:

· Trạng thái 1 (XX): Cả 2 bé đều giơ Xanh (1 trường hợp: Xanh - Xanh).

· Trạng thái 2 (ĐĐ): Cả 2 bé đều giơ Đỏ (1 trường hợp: Đỏ - Đỏ).

· Trạng thái 3 (Khác): 1 bé Xanh, 1 bé Đỏ (2 trường hợp: Xanh - Đỏ hoặc Đỏ - Xanh).

Điều kiện đề bài: "Không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật" tương đương với:

· Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái XX (để tránh hình chữ nhật toàn màu Xanh). \( \Rightarrow \) Số đường kính trạng thái XX chỉ được là 0 hoặc 1.

· Không được chọn ra 2 đường kính cùng có trạng thái ĐĐ (để tránh hình chữ nhật toàn màu Đỏ). \( \Rightarrow \) Số đường kính trạng thái ĐĐ chỉ được là 0 hoặc 1.

Gọi \(k\) là số đường kính có trạng thái XX.

Gọi \(m\) là số đường kính có trạng thái ĐĐ.

Số đường kính còn lại là \(5 - k - m\) sẽ có trạng thái "Khác" (mỗi đường có 2 cách chọn màu).

Theo lập luận trên, ta cần tìm số cách sao cho \(0 \le k \le 1\) và \(0 \le m \le 1\).

· Trường hợp 1: \(k = 0,m = 0\) (0 đường XX, 0 đường ĐĐ, 5 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^0 \cdot C_5^0 \cdot {2^5} = 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32\) cách.

· Trường hợp 2: \(k = 1,m = 0\) (1 đường XX, 0 đường ĐĐ, 4 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^1 \cdot C_4^0 \cdot {1^1} \cdot {2^4} = 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 16 = 80\) cách.

· Trường hợp 3: \(k = 0,m = 1\) (0 đường XX, 1 đường ĐĐ, 4 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^0 \cdot C_5^1 \cdot {1^1} \cdot {2^4} = 1 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 16 = 80\) cách.

· Trường hợp 4: \(k = 1,m = 1\) (1 đường XX, 1 đường ĐĐ, 3 đường Khác)

Số cách chọn: \(C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot {1^1} \cdot {1^1} \cdot {2^3} = 5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 8 = 160\) cách.

Tổng số kết quả thuận lợi là:\(n(A) = 32 + 80 + 80 + 160 = 352\)

Xác suất của biến cố A là: \(a = P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{352}}{{1024}} = \frac{{11}}{{32}}\)

Giá trị cần tìm là \(\frac{{2200}}{a} = \frac{{2200}}{{\frac{{11}}{{32}}}} = 6400\).

Đáp án: \(20,6\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Tọa độ của các điểm \(A\left( { - 15;0} \right)\), \(B\left( {15;0} \right)\), \(E\left( {30;0} \right)\), \(H\left( {0;30} \right)\) và \(I\left( {30;30} \right)\).

Vì parabol đi qua điểm \(B\left( {15;0} \right)\) và \(H\left( {0;30} \right)\) đồng thời có đỉnh là điểm \(H\left( {0;30} \right)\) nên phương trình của parabol là: \(y = - \frac{6}{{45}}{x^2} + 30\).

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {30;30} \right)\) là: \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} = 9\).

Gọi \(A\left( {a; - \frac{6}{{45}}{a^2} + 30} \right)\) là một điểm nằm trên parabol.

Khoảng giữa An và Lan ngắn nhất khi tiếp tuyến tại \(A\) của parabol và đường thẳng \(IA\) vuông góc với nhau.

\(\overrightarrow {IA} \left( {a - 30;\, - \frac{6}{{45}}{a^2}} \right) \Rightarrow {k_{IA}} = \frac{{ - \frac{6}{{45}}{a^2}}}{{a - 30}}\).

\(f'\left( A \right) \cdot {k_{IA}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 12a}}{{45}} \cdot \frac{{ - \frac{6}{{45}}{a^2}}}{{a - 30}} = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{8}{{225}}{a^3} = 30 - a \Leftrightarrow 8{a^3} + 225a - 6750 = 0 \Leftrightarrow a \approx 8,4613\).

Suy ra khoảng cách ngắn nhất giữa An và Lan là

                                                   \[{d_{\min }} = IA - r \approx 20,56\].