Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi \(I\) là tâm của mặt bên \(ADD'A'\) và \(K\) là trung điểm của cạnh \(CC'.\) Cho biết \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = n{a^2}{\rm{ }}(n\) là số thập phân). Giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu?

Một nghệ nhân có \[9\] chiếc đèn lồng với độ dài dây treo (\[cm\]) lần lượt là \[10\]¸\[20\]¸\[30\], …, \[90\]. Khung đèn là một tam giác đều \[ABC\]; gọi \[M\], \[N\], \[P\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[BC\], \[CA\]. Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên \[6\] chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào \[6\] vị trí \[A\], \[B\], \[C\], \[M\], \[N\], \[P\] (mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân bằng hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là \[p\]. Giá trị của \[\frac{6}{p}\] bằng bao nhiêu?

Bạn đang đứng điều khiển Flycam từ sân thượng một quán cà phê ở vị trí \(A(10;20;50)\) (độ cao 50 mét so với mặt đất), coi tọa độ là mét trong không gian Oxyz. Mục tiêu là bay thẳng đến quay cận cảnh màn trình diễn đèn LED tại thân toà tháp đối diện ở tọa độ \(C(130;180;260)\) (Flycam bay theo đoạn thẳng AC). Do ban quản lý toà tháp thiết lập vùng cấm bay xung quanh thiết bị đèn LED (tâm C) với bán kính an toàn là 40 mét. Flycam phải dừng lại ngay khi chạm mép vùng này. Hỏi quãng đường Flycam bay được từ quán cà phê đến điểm dừng là bao nhiêu mét?

Một nhà máy tung ra thị trường dòng drone phun thuốc tự động. Nhà máy có công suất tối đa \[350\]chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra hai tham số tài chính quan trọng cho việc sản xuất và tiêu thụ hết \[x\left( {x \in \mathbb{N}*,x \le 350} \right)\] chiếc drone trong một quý như sau:

Giá bán mỗi chiếc drone được xác định theo hàm cầu: \[P\left( x \right) = 120 - 0,2x\] (đơn vị: triệu đồng/chiếc). Chi phí vận hành cố định: \[1000\] triệu đồng. Chi phí linh kiện: Giá gốc là \[50\] triệu đồng/chiếc, nếu sản xuất trên \[100\]chiếc thì chi phí linh kiện giảm xuống chỉ còn \[40\] triệu đồng/chiếc (áp dụng cho toàn bộ lô hàng). Lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế \[10\% \]tính trên lợi nhuận dương).

Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là \(A\) có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt là \(45{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}}\). Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua \(A\), các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị \({m^3}\)) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một thử nghiệm ô tô xuất phát từ trạng thái nghỉ.

Người lái điều khiển xe đạt vận tốc cực đại tại t = 18 giây, rồi giảm tốc và dừng hẳn. Toàn bộ quá trình kéo dài 50 giây. Đồ thị vận tốc v(t) (m/s) theo thời gian t (s) như hình vẽ. Trong đó, đoạn [0;24] đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I(18;27) và đi qua điểm O ; trên đoạn (24;50] đồ thị là đoạn thẳng AB với A(24;24) và B(50;0)

Một công ty giao hàng nhanh trong thành phố đã xây dựng một thuật toán giao hàng tối ưu. Để kiểm chứng, giám đốc yêu cầu ghi nhận thời gian giao của từng đơn hàng trong mẫu 100 đơn chạy thử. Số liệu được thống kê trong bảng sau: