Cho đa giác đều 36 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác đã cho. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh liền kề (chung một cạnh của tứ giác) là 2 góc tù. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Đáp số: 1,33.

Ta có phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(P\left( {6;22;0} \right)\), vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {15; - 11;1} \right)\) là: \(d\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 15t\\y = 22 - 11t\\z = t\end{array} \right.\).

Quả bóng di chuyển theo đường thẳng \(d\), khung thành là một phần của \(\left( {Oxz} \right)\). Khi đó, gọi \(M\) là giao điểm giữa đường thẳng \(d\) và \(\left( {Oxz} \right):y = 0\).

Do đó \(M \in d \Rightarrow M\left( {6 + 15t;22 - 11t;t} \right)\).

\(M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow 22 - 11t = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Khi đó \(M\left( {36;0;2} \right)\).

Ta có \(PM = \sqrt {{{\left( {36 - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 22} \right)}^2} + {2^2}} = 2\sqrt {347} \).

Thời gian quả bóng từ vị trí điểm \(P\) đến khung thành là: \(\frac{{PM}}{v} = \frac{{2\sqrt {347} }}{{28}} = \frac{{\sqrt {347} }}{{14}} \approx 1,33\) (giây).

Đáp án: 9,9.

Gọi \(H\) là chiều cao của ly nước hình trụ, \(H = 9{\rm{ cm}}\).
Gọi \(a\) là độ dài cạnh của khối lập phương.
Khi khối lập phương được đặt vào miệng ly sao cho một đỉnh chạm mặt nước và đường chéo qua đỉnh đó trùng với trục đối xứng của ly, đồng thời khối lập phương tựa trên miệng ly, thì phần khối lập phương bị ngập nước là một hình chóp tam giác đều (một góc của hình lập phương).
Chiều cao của phần bị ngập nước này (tính từ đỉnh chạm nước đến mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề của khối lập phương) là \(h = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
Mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề đó chính là mặt phẳng mà khối lập phương tựa vào miệng ly.
Trong trường hợp đầu tiên được mô tả:
Ly nước chứa lượng nước bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích của ly, nghĩa là chiều cao cột nước là \(h = \frac{3}{4}H = \frac{{27}}{4}{\rm{ cm}}\).
Khối lập phương được đặt vào miệng ly và một đỉnh của nó chạm vào mặt nước. Điều này có nghĩa là đỉnh thấp nhất của khối lập phương nằm ở độ cao \(h'\) so với đáy ly, và mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề nó nằm ở độ cao của miệng ly, tức là \(H = 9{\rm{ cm}}\).
Như vậy, chiều cao của phần khối lập phương từ đỉnh thấp nhất đến mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề (là phần ngập trong nước) là \(H - h' = 9 - \frac{{27}}{4} = \frac{9}{4}{\rm{ cm}}\).
Suy ra: \(\frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{9}{4} \Rightarrow a = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}{\rm{ cm}}\).
Nếu ban đầu đổ nước đầy ly, nghĩa là chiều cao cột nước là \(H = 9{\rm{ cm}}\).
Khối lập phương "như trên" (với cạnh \(a = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}{\rm{ cm}}\)) được đặt vào ly.
Khối lập phương vẫn tựa trên miệng ly, vì vậy mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề của nó nằm ở độ cao \(H = 9{\rm{ cm}}\) (tương ứng với miệng ly).
Đỉnh thấp nhất của khối lập phương sẽ nằm ở độ cao \(H - \frac{a}{{\sqrt 3 }} = 9 - \frac{{9\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = 9 - \frac{9}{4} = \frac{{27}}{4}{\rm{ cm}}\) so với đáy ly.
Chiều cao của cột nước là \(9{\rm{ cm}}\).
Đỉnh thấp nhất của khối lập phương nằm ở độ cao \(6.75{\rm{ cm}}\).
Vì \(6.75{\rm{ cm}} < 9{\rm{ cm}}\), toàn bộ phần hình chóp tam giác đều của khối lập phương (từ đỉnh thấp nhất đến mặt phẳng chứa ba đỉnh liền kề) sẽ bị ngập trong nước.
Thể tích của phần khối lập phương bị ngập nước chính là thể tích nước tràn ra.
Thể tích của hình chóp tam giác đều này (là một góc của khối lập phương) được tính bằng công thức \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\), với \(a\) là cạnh của khối lập phương.
\({V_{tr{\rm{\`a }}n}} = \frac{1}{6}{\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{4}} \right)^3}\)\( = \frac{{729 \cdot \sqrt 3 }}{{128}}\)\( \approx \frac{{729 \times 1.7320508}}{{128}} \approx 9.86555{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\).
Làm tròn đến hàng phần chục, ta được \({V_{tr{\rm{\`a }}n}} \approx 9.9{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\).