Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({9^{f\left( x \right)}} + 9m = m \cdot {3^{f\left( x \right)}} + {3^{f\left( x \right) + 2}}\) có đúng 5 nghiệm thực phân biệt (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Ta có \({9^{f\left( x \right)}} + 9m = m \cdot {3^{f\left( x \right)}} + {3^{f\left( x \right) + 2}}\) \( \Leftrightarrow {3^{2f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right) + 2}} = m\left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right)\)

\( \Leftrightarrow {3^{f\left( x \right)}}\left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right) = m\left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^{f\left( x \right)}} - 9} \right)\left( {{3^{f\left( x \right)}} - m} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{f\left( x \right)}} = 9}\\{{3^{f\left( x \right)}} = m}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = 2\quad \,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{f\left( x \right) = {{\log }_3}m\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right..\)

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Để phương trình có đúng 5 nghiệm thực phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có đúng 3 nghiệm thực khác \( - 2\,;\,\,1\)

\( \Leftrightarrow  - 2 < {\log _3}m < 2 \Leftrightarrow \frac{1}{9} < m < 9\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: 8.