Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BB'\) bằng 2, khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng (\(A'B'C'\)) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

    

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Thể tích khối lăng trụ: \(V = h.S\), trong đó \(h\) là chiều cao lăng trụ, \(S\) là diện tích đáy của lăng trụ.

Lời giải

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\). Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BB'\), F là hình chiếu của \(A\) trên \(CC'\).

Ta có, \(H\) là trung điểm của \(EF\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AE \bot AA'}\\{AF \bot AA'}\end{array} \Rightarrow AA' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow AA' \bot EF \Rightarrow BB' \bot EF} \right.\).

Khi đó \({d_{\left( {A,BB'} \right)}} = AE = 1,{d_{\left( {A,CC'} \right)}} = AF = \sqrt 3 ,{d_{\left( {C,BB'} \right)}} = EF = 2\).

Tam giác \(AEF\) có \(A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}\) nên tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\), suy ra \(AH = \frac{{EF}}{2} = 1\).

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AA' \bot \left( {AEF} \right)}\\{MN//AA'}\end{array} \Rightarrow MN \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MN \bot AH} \right.\).

Tam giác \(AMN\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên

\(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{N^2}}} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow AM = 2\).

Mặt khác \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AA'NM} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {AA'NM} \right) \bot \left( {AEF} \right)}\\{\left( {AA'NM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AN}\\{\left( {AA'NM} \right) \cap \left( {AEF} \right) = AH}\end{array} \Rightarrow } \right.\) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AEF} \right)\) là \(\widehat {HAN}\).

Hình chiếu của tam giác \(ABC\) lên mặt phẳng (AEF) là tam giác \(AEF\) nên

\({S_{AEF}} = {S_{ABC}}.\cos \widehat {HAN} \Rightarrow \frac{1}{2}AE.AF = {S_{ABC}}.\frac{{AH}}{{AN}}\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\frac{{AE.AF.AN}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{1.\sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{1} = 1\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AM = 1.2 = 2\).