Cho \(A = 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{2021}} + {4^{2022}}\).

1) Thu gọn biểu thức \(A\).

2) Biểu thức \(A\) có chia hết cho 20 không? Vì sao?

1) Thu gọn biểu thức \(A\).

Từ \(A = 4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{2021}} + {4^{2022}}\), ta có:

\(4A = {4^2} + {4^3} + {4^4} + ... + {4^{2022}} + {4^{2023}}\)

Suy ra \(4A - A = \left( {{4^2} + {4^3} + {4^4} + ... + {4^{2022}} + {4^{2023}}} \right) - \left( {4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^{2021}} + {4^{2022}}} \right)\)

Do đó \(3A = {4^{2023}} - 4\), nên \(A = \frac{{{4^{2023}} - 4}}{3}\).

2) Biểu thức \(A\) có chia hết cho 20 không? Vì sao?

Ta có:

\(A = 4 + {4^2} + {4^3} + {4^4} + ... + {4^{2021}} + {4^{2022}}\) (có 2022 số hạng)

\( = \left( {4 + {4^2}} \right) + \left( {{4^3} + {4^4}} \right) + ... + \left( {{4^{2021}} + {4^{2022}}} \right)\) (có 1011 nhóm, mỗi nhóm 2 số hạng)

\[ = \left( {4 + {4^2}} \right) + {4^2}.\left( {4 + {4^2}} \right) + ... + {4^{2020}}\left( {4 + {4^2}} \right)\]

\[ = 20 + {4^2}.20 + ... + {4^{2020}}.20\]

\[ = 20.\left( {1 + {4^2} + ... + {4^{2020}}} \right)\]

Do đó giá trị của biểu thức \(A\) chia hết cho 20.