Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\widehat {ABC} = 30^\circ \), mặt bên \(SBC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là:    

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(BC\).

Vì mặt bên \(SBC\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi I là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\), \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SI\).

Khi đó \(HK \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(HK = d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\).

\(\Delta SBC\) đều nên \(H\) là trung điểm \(BC \Rightarrow BH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\);

\(HI = BH \cdot \sin 30^\circ  = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{4}\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}\).

Ta có \(\frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CB}}{{HB}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 2HK = 2 \cdot \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\). Chọn B.