Cho \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {2{\rm{tan}}x + {\rm{cot}}x} \right)}^2}} {\rm{d}}x = a + b\sqrt 3  + c\pi \) (*). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ \(a,b,c\) thỏa mãn (*). Tổng \(a + 3b + 12c\) có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Tọa độ tâm của tàu là \(I\left( {30;15;50} \right)\).

Bán kính của chiếc tàu ngầm là \(R = \sqrt {{{30}^2} + {{15}^2} + {{50}^2} - 3600}  = 5\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy khoảng cách từ thiết bị do thám đến bề mặt nước biển là \(45 + 5 = 50\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Đáp án cần nhập là: \(50\).

Gọi các biến cố:

\({B_1}\)"Lô lấy ra là lô I" .

\({B_2}\)"Lô lấy ra là lô II".

A "Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt".

Ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {{B_1}} \right) \cdot P\left( {A\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right) \cdot P\left( {A\mid {B_2}} \right)\)

\(P\left( {{B_1}} \right) = \frac{1}{2},P\left( {{B_2}} \right) = \frac{1}{2},P\left( {A\mid {B_1}} \right) = \frac{{20}}{{30}} = \frac{2}{3},P\left( {A\mid {B_2}} \right) = \frac{{15}}{{30}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{{12}}\). Chọn A.