Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\), \(B\left( {1;0;4} \right),C\left( {0; - 2; - 1} \right)\). Mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình dạng \(x + ay + bz + c = 0\). Tính giá trị biểu thức \(S = a + b + c\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\)

b) Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua \(A(1;0;0)\) và vuông góc với \(AB\) suy ra mặt phẳng \((Q)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = (3;1;2)\) làm véc tơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng \((Q)\) cần tìm có dạng: \(3(x - 1) + y + 2z = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 3 = 0\)

c) \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)\).

d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng \(AB\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc \(AB\) nên có phương trình là \(3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + y - \frac{1}{2} + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0\).