Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right),P\left( {0;0;p} \right)\) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn \({m^2} + {n^2} + {p^2} = 3,m,n,p\) là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời: 0,58

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có phương trình \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1\).

Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có:

\(\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9\)\( \Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{9}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 3\).

Khi đó \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Dấu bằng xảy ra khi \(m = n = p = 1\).

Vậy khoảng cách lớn nhất từ \(O\) đến \(\left( {MNP} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} \approx 0,58\).