Trong phòng thí nghiệm, cần xác định nồng độ của KMnO4 do hợp chất này dễ bị khử đến MnO₂ bằng oxalic acid theo phương trình hóa học như sau:

\(\;KMn{O_4}\; + \;{C_2}{H_2}{O_4}\left( {aq} \right)\; + \;{H_2}S{O_4}\; \to C{O_2}\; + \;{H_2}O\left( l \right)\; + \;{K_2}S{O_4}\left( {aq} \right)\; + \;MnS{O_4}\)

Quá trình chuẩn độ sẽ kết thúc khi dung dịch \(KMn{O_4}\;\)đổi màu từ màu tím thành màu hồng nhạt bền.

Người ta thực hiện chuẩn độ dung dịch KMnO₄ bằng dung dịch \({H_2}{C_2}{O_4}\) 0,05M. Thí nghiệm chuẩn độ được thực hiện như sau:

- Đổ đầy dung dịch KMnO₄ vào buret 25 mL, chỉnh về vạch số 0.

- Dùng pipet lấy chính xác 10,00 mL dung dịch oxalic acid 0,05M vào bình erlen có dung tích 250 mL, thêm vào 1,00 mL dung dịch \({H_2}S{O_4}\) (1:1). Sau đó đun nóng hỗn hợp này đến 70°C – 80°C (Không đun sôi vì dung dịch \({H_2}{C_2}{O_4}\) sẽ bị phân hủy).

- Nhỏ từng giọt dung dịch KMnO₄ vào bình erlen, lắc đều. Chuẩn độ cho tới khi xuất hiện màu hồng nhạt bền vững trong 30 giây thì dừng chuẩn độ, ghi lại thể tích KMnO₄ đã sử dụng.

- Lặp lại thí nghiệm 3 lần, thu được các giá trị thể tích KMnO₄ đã dùng như sau:

Nồng độ \(KMn{O_4}\) xác định được là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'(5,{\mkern 1mu} 0,{\mkern 1mu} 0)\\B'(5,{\mkern 1mu} 10,{\mkern 1mu} 0)\end{array} \right. \Rightarrow A'B' = 10.\)

Phương trình mặt phẳng (Oxy)  là z = 0

Do \({z_A} \cdot {z_B} > 0 \Rightarrow A,B\)  cùng phía so với  (Oxy).

Gọi A', B' là hình chiếu của A, B lên (Oxy):

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{A}^{\text{'}}(5,0,0)\\ B^{\text{'}}(5,10,0)\end{array}\right.\Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=10.$

Ta có:\(AA' = 2,\qquad BB' = 4.\)

Đặt MA' = x, MB' = y.

Lại có: \(A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A', M, N, B' thẳng hàng:

\( \Rightarrow x + y \ge A'B' - MN = 8.\)

Vậy:\(AM + BN \ge \sqrt {{{(MA' + NB')}^2} + {{(AA' + BB')}^2}}  = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10.\)

\[\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {{{(3\tan x + 2\cot x)}^2}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}x + 12 + 4{{\cot }^2}x)} dx\]

\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(9{{\tan }^2}x + 9)} dx + \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {(4 + 4{{\cot }^2}x)} dx - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dx} \)

\[ = 9\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx + 4\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {dx} \]

\( = 9\left( {\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}} \right) - 4\left( {\cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{4}} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = 9(\sqrt 3 - 1) - 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 1} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = - 5 + 23\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{\pi }{{12}}.\)

Vậy  𝑎 = − 5 , 𝑏 = 23 , 𝑐=− 1 .

Vậy T= a + b + c = 17