Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có \[9\] khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ \[1\] đến \[9\] theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có \[9\] cạnh. Do sai số chế tạo, \[9\] cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ \[1\] đến \[9\] gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đạt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
+ Chia \[9\] cánh quạt thành \[3\] nhóm (mỗi nhóm \[3\] cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào \[3\] khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng \[3\] khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của \[3\] cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp \[9\] cánh quạt vào \[9\] khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên?
(Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor)
Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có \[9\] khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ \[1\] đến \[9\] theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có \[9\] cạnh. Do sai số chế tạo, \[9\] cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ \[1\] đến \[9\] gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đạt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
+ Chia \[9\] cánh quạt thành \[3\] nhóm (mỗi nhóm \[3\] cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào \[3\] khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng \[3\] khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của \[3\] cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp \[9\] cánh quạt vào \[9\] khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên?
(Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
2592
Lời giải
Đáp án: \[2592\]
Ta có \[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\] nên để tổng khối lượng \[3\] cánh quạt trong mỗi nhóm bằng nhau thì tổng khối lượng mỗi nhóm bằng \[15\].
Ta chia các số từ \[1\] đến \[9\] thành \[3\] bộ: \[\left\{ {1;2;3} \right\}\], \[\left\{ {4;5;6} \right\}\], \[\left\{ {7;8;9} \right\}\].
Dễ thấy để lấy \[3\] số có tổng bằng \[15\] thì mỗi bộ ta lấy ra \[1\] số.
Ta có các bộ \[3\] số có tổng bằng \[15\] là:
+ có chứa số \[9\]: \[\left\{ {9;5;1} \right\}\], \[\left\{ {9;4;2} \right\}\].
+ có chứa số \[8\]: \[\left\{ {8;6;1} \right\}\], \[\left\{ {8;5;2} \right\}\], \[\left\{ {8;4;3} \right\}\].
+ có chứa số \[7\]: \[\left\{ {7;6;2} \right\}\], \[\left\{ {7;5;3} \right\}\].
Từ đây ta dễ dàng thấy có \[2\] cách chọn \[3\] bộ số thỏa mãn là
+ \[\left\{ {9;5;1} \right\}\], \[\left\{ {8;4;3} \right\}\], \[\left\{ {7;6;2} \right\}\].
+ \[\left\{ {9;4;2} \right\}\], \[\left\{ {8;6;1} \right\}\], \[\left\{ {7;5;3} \right\}\].
Giờ ta sẽ đếm số cách sắp xếp vào \[9\] khe rotor.
Rotor có \[9\] khe được đánh số cố định từ \[1\] đến \[9\]. Ta có đúng \[3\] tam giác đều trên rotor:
+ Tam giác \[{T_1}\]: khe \[1\], \[4\], \[7\].
+ Tam giác \[{T_2}\]: khe \[2\], \[5\], \[8\].
+ Tam giác \[{T_3}\]: khe \[3\], \[6\], \[9\].
Chọn một cách chọn \[3\] bố số, có \[2\] cách.
Chọn bộ số điền vào \[3\] tam giác, có \[3!\] cách.
Sắp xếp các số trong \[3\] tam giác, có \[{\left( {3!} \right)^3}\] cách.
Số cách xếp thỏa mãn là \[2 \cdot 3! \cdot {\left( {3!} \right)^3} = 2592\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) [TH] Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {a;b} \right)\). Khi đó, ta có \({a^2} + b = 12\).
Đúng
Sai
b) [TH] Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = x - 2\).
Đúng
Sai
c) [TH] Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 2\) cắt hai đường tiệm cận tại \(A,\,B\). Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(12.\)
Đúng
Sai
d) [VD] Có tất cả \(9\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} = m\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 2 < {x_2} < 15\).
Đúng
Sai
Lời giải
Lời giải
a) Đúng.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) ; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên sau
|
\(x\) |
\( - \infty \) \( - 1\) \(1\) \(3\) \( + \infty \) |
|
\(y'\) |
\( + \) \(0\) \( - \) \( - \) \(0\) \( + \) |
|
\(y\)
|
\( - 5\) |
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: \(\left( {3;3} \right)\)\( \Rightarrow {a^2} + b = {3^2} + 3 = 12\).
b) Đúng. Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} - (x - 2)} \right) = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} - (x - 2)} \right) = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).
c) Sai.
+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: \(x = 1\)
Ta có tọa độ giao điểm của 2 đường tiệm cận của đồ thị là \(I(1; - 1)\).
+) Điểm thuộc đồ thị có hoành độ \(x = 2\) là \(M(2;4)\). Tiếp tuyến tại \(M\) có phương trình là \(y - 4 = f'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y = - 3x + 2\) (d)
Gọi điểm \(A\) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiếp tuyến (d), nên \(A\left( {1; - 1} \right)\)
Gọi điểm \(B\) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiếp tuyến (d), nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 2\\y = - 3x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \) \(B\left( {1; - 1} \right)\)
Vậy \(A \equiv B \equiv I\), không tồn tại tam giác.
d) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta có \(4 < m < f(5) \approx 13,28\)
Do tham số \(m\)là số nguyên, nên \(m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\}\), có 9 giá trị.
Câu 2
a) Gọi \(\alpha \) là số đo góc phẳng nhị diện \[\left[ {S,CD,A} \right]\], khi đó \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\).
Đúng
Sai
b) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(8{a^3}\).
Đúng
Sai
c) Góc tạo bởi đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(\widehat {BSH}\).
Đúng
Sai
d) Gọi \(M,N,P\)lần lượt là trung điểm của ba cạnh \(CD\), \(BC\)và \(SA\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(PN\) và \(SM\)bằng \(\frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Đúng
Sai
Lời giải
Lời giải
a) [VD]
BAD = 120o (gt) CAD = 60o
\(\Delta ACD\) có CAD = 60o, AD = CD
\( \Rightarrow \Delta ACD\) đều
có \(M\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow \)\[AM\] là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao của \(\Delta ACD\)
\( \Rightarrow AM \bot CD\)
\( \Rightarrow AM = \frac{{4a\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 3 \).
Kẻ \(HI{\rm{ // }}AM\), \(I \in MC\).
\(\Delta ACM\) có \(HI{\rm{ // }}AM\) theo định lý Thale`s ta có:
\( \Rightarrow HI = \frac{{CH \cdot AM}}{{CA}} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AM \bot CD}\\{HI{\rm{ // }}AM}\end{array}} \right. \Rightarrow HI \bot CD\quad (1)\)
\(SH \bot (ABCD)\left( {gt} \right) \Rightarrow SH \bot CD\quad (2)\)
Từ \((1),{\rm{ }}(2) \Rightarrow CD \bot (SHI)\)\( \Rightarrow \widehat {SIH} = \alpha \).
\(\Delta SHI{\rm{ }}\): \(\widehat {SHI} = {90^0}\)\( \Rightarrow \)\(\tan \alpha = \tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{HI}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\left( {\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = \frac{2}{3}\).
Chọn: Đúng.
b) [TH] theo câu a) ta có \(\Delta ACD\) đều, \(CD = 4a\), \(AM = 2a\sqrt 3 \)
\({S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}CD \cdot AM\)\( = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot 2a\sqrt 3 = 4{a^2}\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ACD}} = 8{a^2}\sqrt 3 \)
Vậy: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot 8{a^2}\sqrt 3 = 8{a^3}\).
Chọn: Đúng.
c) [TH]
\(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot OB\quad (3)\)
\(OB \bot AC\quad (4)\)
Từ (3), (4) \( \Rightarrow OB \bot (SAC)\) \( \Rightarrow OB \bot SO\)
\( \Rightarrow \widehat {BSO}\) là góc giữa \(SB\) và \((SAC)\).
Chọn: Sai.
d) [VD,VDC]
Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ:
\(Oz \bot (ABCD)\) tại \(O\), \(Ox \equiv OB\), \(Oy \equiv OC\)
Ta có: \(O(0,0,0)\); \(A(0, - 2a,0)\)
\(B(2a\sqrt 3 ;0,0)\), \(C(0,2a,0)\), \(D( - 2a\sqrt 3 ,0,0)\)
\(M\) là trung điểm của \(DC \Rightarrow M( - a\sqrt 3 ,a,0)\)
\(N\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow N(a\sqrt 3 ,a,0)\)
\(H(0, - a,0)\), \(S(0, - a,a\sqrt 3 )\)
P là trung điểm của SA \( \Rightarrow P(0, - \frac{3}{2}a,\frac{{a\sqrt 3 }}{2})\)
\(\overrightarrow {NP} = \left( { - a\sqrt 3 , - \frac{5}{2}a,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
\(\overrightarrow {MS} = (a\sqrt 3 , - 2a,a\sqrt 3 )\)
\(\overrightarrow {MN} = \left( {2a\sqrt 3 ,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {NP} ,\overrightarrow {MS} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{5}{2}a}&{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{ - 2a}&{a\sqrt 3 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{ - a\sqrt 3 }\\{a\sqrt 3 }&{a\sqrt 3 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a\sqrt 3 }&{ - \frac{5}{2}a}\\{a\sqrt 3 }&{ - 2a}\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( { - \frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3 ,\frac{9}{2}{a^2},\frac{9}{2}\sqrt 3 {a^2}} \right)\)
\({d_{\left( {NP,MS} \right)}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {NP} ;\overrightarrow {MS} } \right] \cdot \overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NP} ;\overrightarrow {MS} } \right|}} = \frac{{\frac{9}{2}{a^3}}}{{\frac{{3\sqrt {39} }}{2}{a^2}}} = \frac{3}{{\sqrt {39} }}a\).
Chọn SAI.
Câu 3
a) [NB] Tại thời điểm nửa đêm t = 0, mực nước tại cảng là 15 mét.
Đúng
Sai
b) [TH] Tốc độ biến thiên của mực nước tại thời điểm t là \(h'(t) = - \frac{{2\pi }}{3}\sin (\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3})\).
Đúng
Sai
c) [TH] Trong một ngày (với \(0 \le t \le 24\)), mực nước thấp nhất là 6 mét và mức nước này xuất hiện tại hai thời điểm khác nhau.
Đúng
Sai
d) [VD,VDC] Phương trình \(h'(t) = 0\)có một nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;6} \right]\) là t = 4.
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập