Cho một tòa nhà đồ chơi có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy là hình vuông cạnh \(20{\rm{cm}}\) và chiều cao \(80{\rm{cm}}\). Mặt \(A'B'C'D'\) là mặt dưới, còn \(ABCD\) là mặt trên.

Một con kiến xuất phát từ điểm \(A'\) và bò trên bề mặt xung quanh của tòa nhà để đến đích là điểm \(A\) (như hình minh họa). Đường đi của con kiến là một đường gấp khúc liên tục, nằm hoàn toàn trên bốn mặt bên (không đi trên mặt trên và mặt dưới), không trùng với các cạnh của hình hộp và lần lượt cắt các cạnh theo đúng thứ tự: \(BB'\), \(CC'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Biết rằng con kiến chạm vào cạnh \(BB'\) tại các điểm cách \(B'\) một khoảng không nhỏ hơn \(16{\rm{cm}}\) và chạm vào cạnh \(CC'\) tại các điểm cách \(C\) một khoảng không lớn hơn \(16{\rm{cm}}\). Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con kiến đi (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo là cm).

Lời giải

Đáp án: 3

Tìm điều kiện xác định (Tập xác định):

Hàm số có nghĩa khi biểu thức trong logarit lớn hơn 0: \(\frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} > 0\)

Lập bảng xét dấu, ta tìm được tập xác định của hàm số là: \(D = ( - 5; - 1) \cup (4; + \infty )\)

2. Xét Tiệm cận ngang (TCN):

Dựa vào tập xác định, ta chỉ xét giới hạn khi \(x \to  + \infty \): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \ln \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}}\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} =  + \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \).

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

3. Xét Tiệm cận đứng (TCĐ):

Ta xét giới hạn của hàm số tại các đầu mút của tập xác định \(D\):

·        Tại \(x =  - 5\): Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {5^ + }} \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} = {0^ + }\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {5^ + }} y =  - \infty  \Rightarrow {\bf{x}} =  - {\bf{5}}\) là một đường tiệm cận đứng.

·        Tại \(x =  - 1\): Do\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} =  + \infty \)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty  \Rightarrow {\bf{x}} =  - {\bf{1}}\) là một đường tiệm cận đứng.

·        Tại \(x = 4\): Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} =  + \infty \) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow {\bf{x}} = {\bf{4}}\) là một đường tiệm cận đứng.

(Lưu ý: Tại \(x = 2\), hàm số không xác định và xung quanh \(x = 2\) cũng không thuộc tập xác định nên không tồn tại giới hạn để xét tiệm cận).

Kết luận: Đồ thị hàm số có tổng cộng 3 đường tiệm cận (đều là tiệm cận đứng: \(x =  - 5,x =  - 1,x = 4\)).

Lời giải

Đáp số: \(140\)

Lợi nhuận của Bên B thu được là: \(L(x) = R(x) - [p \cdot x + C(x)]\)

\(L(x) = (300x - {x^2}) - [p \cdot x + ({x^2} + 20x + 500)]\)

\(L(x) =  - 2{x^2} + (280 - p)x - 500\)

Để Bên B đạt lợi nhuận cao nhất tại \(x = \frac{{280 - p}}{4} = 70 - \frac{p}{4}\)

Tổng doanh thu của nông trại (Bên A) từ việc bán hàng cho Bên B là:

\(T(p) = p \cdot x = p\left( {70 - \frac{p}{4}} \right)\)\( = 70p - \frac{{{p^2}}}{4}\)

Để doanh thu của nông trại lớn nhất:

\(T'(p) = 70 - \frac{p}{2} = 0\) \( \Rightarrow p = 140\)

Với \(p = 140\), ta có \(x = 70 - \frac{{140}}{4} = 35\) (thỏa mãn điều kiện \(0 < x < 150\)).

Vậy mức giá sỉ \(p\) mà nông trại nên thiết lập là 140 (nghìn đồng).