Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số \(v\left( t \right) =  - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\), trong đó \(t\) tính theo tuần, \(v\left( t \right)\) tính bằng cm/tuần. Gọi \(h\left( t \right)\) là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ \(t\) (\(t \ge 0\)).

Lời giải

\(v\left( t \right) =  - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\, \Rightarrow \,h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} \,dt =  - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + C\)

\(h\left( 0 \right) = 20\, \Rightarrow \,C = 20\, \Rightarrow \,h\left( t \right) =  - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\)

\(h'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \, - 0,1{t^3} + 1,1{t^2} = 0\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 11\end{array} \right.\)

\(h\left( {11} \right) =  - \frac{1}{{40}}{11^4} + \frac{{11}}{{30}}{11^3} + 20 = \frac{{17041}}{{120}} \approx 142\,cm\)

a) Chiều cao tối đa của cây lúa là \(150\,cm\): Sai vì chiều cao tối đa của cây lúa là 142 cm:

b) Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài \(12\) tuần: Sai vì chỉ có 11 tuần.

c) Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn \(80\,cm\).

Ta xét: \(v\left( t \right) =  - 0,1{t^3} + 1,1{t^2}\, \Rightarrow \,v'\left( t \right) =  - 0,3{t^2} + 2,2t\,;\,v'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{22}}{3}\end{array} \right.\)

\(t\)	0                        \(\frac{{22}}{3}\)                      +$\infty$
\(v'\left( t \right)\)	+                  0            -
\(v\left( t \right)\)

Suy ra cây lúa phát triển nhanh nhất tại thời điểm \(t = \frac{{22}}{3}\).

Khi đó chiều cao của cây lúa bằng

\(h\left( {\frac{{22}}{3}} \right) =  - \frac{1}{{40}}{\left( {\frac{{22}}{3}} \right)^4} + \frac{{11}}{{30}}{\left( {\frac{{22}}{3}} \right)^3} + 20 = \frac{{37382}}{{405}} \approx 92,3\,cm\,\, > \,80\,cm\)

c) Đúng

d)  \(h\left( t \right) =  - \frac{1}{{40}}{t^4} + \frac{{11}}{{30}}{t^3} + 20\) Đúng