Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 38

Mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Tập lập số từ tập hợp \(\left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5.

TH1: Số cần lập có dạng \(\overline {abc0} \) với \(a;b;c \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).

Tổng \(a + b + c + 0\) phải chia hết cho 3 \( \Rightarrow a + b + c\) chia hết cho 3.

Có 4 tập hợp \(\left\{ {a;b;c} \right\}\)có tổng các phần tử chia hết cho 3: \(\left\{ {1;2;3} \right\};\left\{ {2;3;4} \right\};\left\{ {3;4;5} \right\};\left\{ {1;3;5} \right\}\).

Suy ra có \(4.3! = 24\) số.

TH2: Số cần lập có dạng \(\overline {abc5} \) với \(a;b;c \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

Tổng \(a + b + c + 5\) phải chia hết cho 3 \( \Rightarrow a + b + c\) chia cho 3 dư 1.

Có 3 tập hợp \(\left\{ {a;b;c} \right\}\) có tổng các phần tử chia 3 dư 1: \(\left\{ {0;1;3} \right\};\left\{ {0;3;4} \right\};\left\{ {1;2;4} \right\}\).

Suy ra có \(2\left( {3! - 2!} \right) + 3! = 14\) số.

Vậy có \(24 + 14 = 38\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.