Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz,\] cho các mặt phẳng \[\left( P \right){\rm{ }}:{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}\left( Q \right){\rm{ }}:{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng (\(P\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính \(2\) và \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính \(r.\) Để chỉ có đúng \(1\)mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu thì giá trị của \(r\) là:

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Ta có \(I\left( {a;0;0} \right).\)

Do \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính \(2\) nên ta có:

\(4 = {R^2} - {[d(I,(P))]^2} \Leftrightarrow 4 = {R^2} - \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} \Rightarrow {R^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6}\quad (1)\)

Do \(\left( S \right)\) cắt \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là đường tròn bán kính \(r\) nên ta có:

\({r^2} = {R^2} - {[d(I,(Q))]^2} \Leftrightarrow {r^2} = {R^2} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6}\quad (2)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có:

\({r^2} = 4 + \frac{{{{(a + 1)}^2}}}{6} - \frac{{{{(2a - 1)}^2}}}{6} \Leftrightarrow - {a^2} + 2a + 8 - 2{r^2} = 0\quad (3)\)

Để có duy nhất một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn thì phương trình \(\left( 3 \right)\) phải có duy nhất \(1\) nghiệm \(a.\)

\( \Rightarrow \Delta ' = 1 - ( - 1)(8 - 2{r^2}) = 9 - 2{r^2} = 0 \Rightarrow r = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D