Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{(f(x + 1) - 4)\sqrt {{x^2} - 4} }}\)có bao nhiêu đường tiệm cận?

[ 4 ]

Đáp án đúng là: \(4.\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 4 > 0}\\{f(x + 1) \ne 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\\f(x + 1) \ne 4\end{array} \right.\)

Xét \[f(x + 1) = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = \alpha \in \left( { - 1;1} \right)\\x + 1 = 2\\x + 1 = \beta \in \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\left( L \right)\\x = 1\left( L \right)\\x + 1 = \beta \in \left( {3; + \infty } \right)\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]     

Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = \pm 2\)là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to (\beta - 1)} (f(x + 1) - 4)\sqrt {{x^2} - 4} = 0,\,\,(f(x + 1) - 4)\sqrt {{x^2} - 4} > 0\) khi \(x \to {(\beta - 1)^ - }\) và \((f(x + 1) - 4)\sqrt {{x^2} - 4} < 0\) khi \(x \to {(\beta - 1)^ + }\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\beta - 1)}^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\beta - 1)}^ + }} y = - \infty \)

\( \Rightarrow x = \beta - 1\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có \(3\) tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) nên đồ thị hàm số có \(1\) tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có \(4\) đường tiệm cận gồm \(3\) đường tiệm cận đứng và \(1\) đường tiệm cận ngang.

Đáp án cần điền là: \(4.\)