Cho ngũ giác đều \[ABCDE\]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[AD\] và \[BE\]. Chứng minh rằng:
(a) \[DIBC\] là hình bình hành;
(b) \[D{I^2} = AI.AD.\]
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có mỗi góc trong ngũ giác đều có số đo là \[\frac{{\left( {5 - 2} \right).180^\circ }}{5} = 108^\circ \].
Suy ra \[\widehat {AED} = 108^\circ \].
Có tam giác \[AED\] cân tại \[E\] từ đó suy ra \[{\widehat A_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}} = \widehat {{D_1}} = \frac{{180^\circ - 108^\circ }}{2} = 36^\circ \].
Tương tự, ta tính được \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}} = 36^\circ \].
Suy ra \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{E_1}} + \widehat {{A_1}} = 72^\circ \] (góc ngoài của tam giác \[AEI\]) và
\[\widehat {{D_2}} = \widehat {EDC} - \widehat {{D_1}} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ \].
Suy ra \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{D_2}}\].
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[IB\parallel DC\]. (1)
Lại có \[\widehat {{D_2}} + \widehat {DCB} = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ \].
Mà hai góc ở vị trí trong cùng phí nên \[ID\parallel BC\] (2).
Từ (1) và (2) suy ra \[DIBC\] là hình bình hành.
b) Xét \[\Delta EAD\] và \[\Delta AIE\] có: \[\widehat {EAD} = \widehat {IAE}\] và \[\widehat {EDA} = \widehat {IEA} = 36^\circ \]
Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{AD}}\] suy ra \[AI.AD = A{E^2}\].
Mà \[DIBC\] là hình bình hành nên \[DI = BC = AE\].
Suy ra \[D{I^2} = AI.AD.\]
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] hay \[\widehat {IMD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó, \[\widehat {IMD} = \widehat {IND} = 90^\circ \].
Suy ra \[INDM\] là tứ giác nội tiếp.
b) Xét \[\Delta NIC\] và \[\Delta NDK\] có:
\[\widehat {INC} = \widehat {DNK} = 90^\circ \] (gt)
\[\widehat {NIC} = \widehat {NDK}\] (cùng phụ với \[\widehat {NKM}\])
Suy ra (g.g)
Suy ra \[\frac{{NI}}{{ND}} = \frac{{NC}}{{NK}}\] hay \[ND.NC = NI.NK\].
c) Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[ID\] và \[CK\].
Xét tam giác \[\Delta KIC\], có \[CN \bot IK\] tại \[N\]; \[KM \bot IC\] tại \[M\].
Mà \[CN,KM\] giao nhau tại \[D\].
Suy ra \[D\] là trực tâm tam giác \[\Delta KIC\].
Suy ra \[CK \bot IE\] tại \[E\] hay \[\widehat {IEK} = 90^\circ \].
Mà \[IK\] là đường kính đường tròn tâm \[O.\]
Suy ra \[E \in \left( O \right)\].
d) Có \[AB \bot IK\] với \[IK\] là đường kính đường tròn tâm \[O\] suy ra \[IK\] là đường trung trực của \[AB\]. Do đó .
Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta BDK\] có: \[\widehat {ADM} = \widehat {BDK}\] (đối đỉnh) và \[\widehat {DAM} = \widehat {DBK}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Suy ra (g.g).
Suy ra \[DM.DK = DA.DB\].
Mà, ta có: \[DA.DB \le \frac{{{{\left( {DA + DB} \right)}^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4}\].
Mà dây cung \[AB\] cố định suy ra \[DM.DK\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[\frac{{A{B^2}}}{4}\] khi \[DA = DB\] hay \[D\] trùng \[N\]. Suy ra \[M\] trùng \[I.\]
Lời giải
a) Xét \[\Delta EFB\] vuông tại \[F\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\]. (1).
Xét \[\Delta EMB\] vuông tại \[M\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\] (2).
Từ (1) và (2) ta có \[B,M,E,F\] cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.
b) Vì \[AB \bot CD\] và \[\Delta ICD\] cân tại \[I\] nên \[IF\] là đường cao đồng thời là đường phân giác hay \[\widehat {CIF} = \widehat {FID}\] suy ra .
Ta có: và .
Suy ra \[\widehat {AMC} = \widehat {AMD}\] nên \[AM\] là phân giác của \[\widehat {CMD}\].
c) Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta AMC\] có: \[\widehat A\] chung; .
Suy ra (g.g), do đó \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] suy ra \[A{C^2} = AE.AM\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập