Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] tại \[E\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\], tia \[HD\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\].
(a) Chứng minh tứ giác \[AECD\] nội tiếp.
(b) Chứng minh \[BF.BH = BD.BC\] và \[AK \bot BC\].
(c) Gọi \[I\] là trung điểm của \[EF\]. Chứng minh \[OI \bot AH\].
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] t (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1773838463/image37.png)
a) Xét \[\Delta EBC\] có:
\[CA \bot BE\] (vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]) và \[ED \bot BC\] (giả thiết) mà \[CA \cap ED = \left\{ F \right\}\] nên \[F\] là giao điểm của ba đường cao trong tam giác \[\Delta EBC\], suy ra \[BF \bot EC\] tại \[H\] suy ra \[\widehat {BHC} = 90^\circ \].
Xét \[\left( {O;\frac{{BC}}{2}} \right)\] có \[\widehat {BHC} = 90^\circ \] nên \[H \in \left( O \right)\].
Vì \[CA \bot BE\] (cmt) nên \[\widehat {CAE} = 90^\circ \].
Vì \[ED \bot BC\] (cmt) nên \[\widehat {EDC} = 90^\circ \].
Xét tứ giác \[AECD\] có \[\widehat {CAE} = \widehat {EDC} = 90^\circ \] mà đỉnh \[A,D\] là hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh \[EC\] nên \[AECD\] nội tiếp.
b) Xét \[\Delta BDF\] và \[\Delta BHC\] có: \[\widehat {HBC}\] chung và \[\widehat {BDF} = \widehat {BHC} = 90^\circ \].
Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BH}}\] suy ra \[BF.BH = BD.BC\] (đpcm).
Xét đường tròn \[\left( {O;\frac{{BC}}{2}} \right)\] có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\]).
Xét tứ giác \[FHCD\] có \[\widehat {FHC} = 90^\circ \] (Vì \[BH \bot EC\] tại \[H\]); \[\widehat {FDC} = 90^\circ \] (vì \[ED \bot BC\] tại \[D\]).
Suy ra \[\widehat {FHC} + \widehat {FDC} = 180^\circ \] mà \[\widehat {FHD}\] và \[\widehat {FCD}\] là hai góc đối nên tứ giác \[FHCD\] là tứ giác nội tiếp.
Suy ra mà \[\widehat {AHB} = \widehat {ACB}\] (cmt) nên \[\widehat {AHB} = \widehat {FHD}\] suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {BHK}\].
Mặt khác , .
Từ đó ta được \[AB = BK\].
Xét \[\left( {O;\frac{{BC}}{2}} \right)\] có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra tam giác \[BKC\] vuông tại \[K\].
Xét \[\Delta BKC\] và \[\Delta BAC\] có:
\[\widehat {BKC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]
\[BC\] chung
\[BA = BK\] (cmt)
Suy ra \[\Delta BKC = \Delta BAC\] (g.c.g)
Suy ra \[KC = AC\] (hai cạnh tương ứng).
Mà \[BA = BK\] nên \[BC\] là đường trung trực của \[AK\].
Suy ra \[AK \bot BC\] (đpcm).
c)
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] t (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1773838463/image38.png)
Xét \[\Delta EAF\] vuông tại \[A\] có \[I\] là trung điểm của \[EF\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta EAF\].
Suy ra \[AI = IE = IF = \frac{1}{2}EF\].
Xét \[\Delta HEF\] vuông tại \[H\] có \[I\] là trung điểm của \[EF\] nên \[HI\] là đường trung tuyến của \[\Delta HEF\]. Suy ra \[HI = IE = IF = \frac{1}{2}EF\].
Suy ra \[AI = HI\].
Xét \[\left( O \right)\] có \[OA = OH = R\] nên ta được \[OI\] là đường trung trực của \[AH.\]
Vậy \[OI \bot AH\]. (đpcm).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Xét \[\Delta EFB\] vuông tại \[F\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\]. (1).
Xét \[\Delta EMB\] vuông tại \[M\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\] (2).
Từ (1) và (2) ta có \[B,M,E,F\] cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.
b) Vì \[AB \bot CD\] và \[\Delta ICD\] cân tại \[I\] nên \[IF\] là đường cao đồng thời là đường phân giác hay \[\widehat {CIF} = \widehat {FID}\] suy ra .
Ta có: và .
Suy ra \[\widehat {AMC} = \widehat {AMD}\] nên \[AM\] là phân giác của \[\widehat {CMD}\].
c) Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta AMC\] có: \[\widehat A\] chung; .
Suy ra (g.g), do đó \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] suy ra \[A{C^2} = AE.AM\].
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác \[AHKM\] nội tiếp.
Xét tứ giác \[AHKM\], có \[\widehat {AHM} = 90^\circ \] (vì \[HK \bot AB\]) và \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra \[\widehat {AMK} = 90^\circ \] (kề bù với \[\widehat {AMB} = 90^\circ \]).
Suy ra tứ giác \[AHKM\] nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \[NB.HK = AN.HB.\]
Xét \[\Delta ANB\] và \[\Delta KHB\] có:
\[ANB = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \[\widehat {ANB} = \widehat {KHB} = 90^\circ \]
\[\widehat {ABN} = \widehat {KBH}\] (góc nội tiếp chắn hai cung \[AN,AM\] bằng nhau do \[AB \bot MN\]).
Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{AN}}{{NB}} = \frac{{KH}}{{HB}}\] suy ra \[BN.HK = AN.HB\].
c) Cho \[HM\] giao với \[\left( O \right)\] tại \[M\].
Tứ giác \[AHKM\] nội tiếp nên \[\widehat {HMK} = \widehat {HAK}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[HK\]);
\[\widehat {HAK} = \widehat {NAB}\] (đối đỉnh); \[\widehat {NAB} = \widehat {MAB}\] (\[AB \bot MN\] nên \[B\] nằm chính giữa cung \[MN\], hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Suy ra \[\widehat {HMK} = \widehat {HAK} = \widehat {NAB} = \widehat {MAB}\] do đó \[\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {OMA} + \widehat {HMA}\].
Mà \[\widehat {HMK} + \widehat {MHA} = \widehat {AMK} = 90^\circ \] (kề bù với \[\widehat {AMB} = 90^\circ \], góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra \[\widehat {OMA} + \widehat {HMA} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {HMO} = 90^\circ \] hay \[HM \bot OM\] tại \[M\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập