Đường tròn tâm \[O\] nội tiếp hình vuông \[ABCD\], tiếp điểm trên \[AB\] là \[M\]. Một tiếp tuyến với \[\left( O \right)\] cắt các cạnh \[BC,CD\] lần lượt ở \[E,F\]. Chứng minh rằng
(a) Các tam giác \[DFO\] và \[BOE\] đồng dạng.
(b) \[ME\parallel AF.\]
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tam giác \[\Delta DFO\] có \[\widehat {DOF} + \widehat {DFO} + \widehat {ODF} = 180^\circ \]
Suy ra \[\widehat {DOF} + \widehat {DFO} = 135^\circ \] (vì \[\widehat {ODF} = 45^\circ \]). (1)
Xét tứ giác \[BDEF\] có \[\widehat D + \widehat B + \widehat E + \widehat F = 360^\circ \] suy ra \[\widehat {DEF} + \widehat {BEF} = 270^\circ \].
Mặt khác ta có: \[FO,EO\] lần lượt là phân giác của góc \[\widehat {DFE},\widehat {BEF}\] nên ta có:
\[\widehat {DFO} = \frac{1}{2}\widehat {DFE}\] và \[\widehat {BEO} = \frac{1}{2}\widehat {BEF}\].
Suy ra \[\widehat {DFO} + \widehat {BEO} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {DFE} + \widehat {BEF}} \right) = 135^\circ \] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {BEO} = \widehat {DOF}\].
Xét tam giác \[DOF\] và tam giác \[BEO\], có:
\[\widehat {ODF} = \widehat {OBE} = 45^\circ \] và \[\widehat {BEO} = \widehat {DOF}\] suy ra (g.g).
b) Ta có: nên \[\frac{{DF}}{{BO}} = \frac{{DO}}{{BE}}\]
Suy ra \[DF.BE = DO.BO = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4} = BM.AD\].
Suy ra \[\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\].
Xét \[\Delta ADF\] và \[\Delta EBM\], ta có: \[\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\] và \[\widehat {ADF} = \widehat {MBE}\]
Suy ra (c.g.c) nên \[\widehat {AFD} = \widehat {BME}\].
Mặt khác, có \[\widehat {BAF} = \widehat {AFD}\] (vì \[AB\parallel CD\]).
Suy ra \[\widehat {BAF} = \widehat {BME}\].
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[ME\parallel AF.\]
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] hay \[\widehat {IMD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó, \[\widehat {IMD} = \widehat {IND} = 90^\circ \].
Suy ra \[INDM\] là tứ giác nội tiếp.
b) Xét \[\Delta NIC\] và \[\Delta NDK\] có:
\[\widehat {INC} = \widehat {DNK} = 90^\circ \] (gt)
\[\widehat {NIC} = \widehat {NDK}\] (cùng phụ với \[\widehat {NKM}\])
Suy ra (g.g)
Suy ra \[\frac{{NI}}{{ND}} = \frac{{NC}}{{NK}}\] hay \[ND.NC = NI.NK\].
c) Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[ID\] và \[CK\].
Xét tam giác \[\Delta KIC\], có \[CN \bot IK\] tại \[N\]; \[KM \bot IC\] tại \[M\].
Mà \[CN,KM\] giao nhau tại \[D\].
Suy ra \[D\] là trực tâm tam giác \[\Delta KIC\].
Suy ra \[CK \bot IE\] tại \[E\] hay \[\widehat {IEK} = 90^\circ \].
Mà \[IK\] là đường kính đường tròn tâm \[O.\]
Suy ra \[E \in \left( O \right)\].
d) Có \[AB \bot IK\] với \[IK\] là đường kính đường tròn tâm \[O\] suy ra \[IK\] là đường trung trực của \[AB\]. Do đó .
Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta BDK\] có: \[\widehat {ADM} = \widehat {BDK}\] (đối đỉnh) và \[\widehat {DAM} = \widehat {DBK}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Suy ra (g.g).
Suy ra \[DM.DK = DA.DB\].
Mà, ta có: \[DA.DB \le \frac{{{{\left( {DA + DB} \right)}^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4}\].
Mà dây cung \[AB\] cố định suy ra \[DM.DK\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[\frac{{A{B^2}}}{4}\] khi \[DA = DB\] hay \[D\] trùng \[N\]. Suy ra \[M\] trùng \[I.\]
Lời giải
a) Xét \[\Delta EFB\] vuông tại \[F\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\]. (1).
Xét \[\Delta EMB\] vuông tại \[M\] nên có trung điểm của cạnh huyền \[EB\] là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta EFB\] (2).
Từ (1) và (2) ta có \[B,M,E,F\] cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.
b) Vì \[AB \bot CD\] và \[\Delta ICD\] cân tại \[I\] nên \[IF\] là đường cao đồng thời là đường phân giác hay \[\widehat {CIF} = \widehat {FID}\] suy ra .
Ta có: và .
Suy ra \[\widehat {AMC} = \widehat {AMD}\] nên \[AM\] là phân giác của \[\widehat {CMD}\].
c) Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta AMC\] có: \[\widehat A\] chung; .
Suy ra (g.g), do đó \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] suy ra \[A{C^2} = AE.AM\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập