Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{e}}^{2x}}}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{{x^2} + x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\). Biết tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)\;{\rm{d}}x} = \frac{a}{b} + \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{c}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính giá trị \(a + b + c\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(x = h\).

b) Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le h} \right)\), cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là \(a\).

c) Theo định lí Tha-les, ta có \(\frac{x}{h} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{L}{2}}} \Rightarrow a = \frac{L}{h}x\).

Do đó, diện tích của mặt cắt này là \(S\left( x \right) = \frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\).

d) Thể tích của khối chóp này là \(V = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^h {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{x^2}dx} = \left. {\left( {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{L^2}h\).

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị suy ra \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).

\(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} } \).

Do \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) âm nên \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1\).

Suy ra \(f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2\)\( \Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2\)

Xét phương trình \({x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(\int_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|dx} = \frac{{27}}{4}\).