Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\)có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục hoành.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Công thức tính diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} \).

b) \({S_H} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{26}}{3}\).

c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} \).

d) \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} = \frac{{202\pi }}{5}\).

a) S, b) S, c) S, d) S

a) \(f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x + 1\).

b) Ta có \(f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 7;...;f\left( {49} \right) = 99;f\left( {50} \right) = 101\).

Do đó

\(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {49} \right) + f\left( {50} \right) = 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = \frac{{\left( {3 + 101} \right).\left[ {\left( {101 - 3} \right):2 + 1} \right]}}{2} = 2600\).

c) Vì \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) mà \(G\left( 1 \right) = F\left( 1 \right) + C\)\( \Leftrightarrow 3 = - 4 + C\)\( \Leftrightarrow C = 7\).

Suy ra \(G\left( 4 \right) = F\left( 4 \right) + C = 14 + 7 = 21\).

d) Có \(f\left( {x - 1} \right) = 2\left( {x - 1} \right) + 1 = 2x - 1\).

Do đó \(H\left( {x - 1} \right) = \int {\left( {2x - 1} \right)dx} = {x^2} - x + C\).

Vì \(H\left( 0 \right) = 3\) nên \({1^2} - 1 + C = 3 \Rightarrow C = 3\). Do đó \(H\left( {x - 1} \right) = {x^2} - x + 3\).

Suy ra \(H\left( 2 \right) = {3^2} - 3 + 3 = 9,H\left( 4 \right) = {5^2} - 5 + 3 = 23\). Do đó \(H\left( 2 \right) - H\left( 4 \right) = - 14.\)