Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\)có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ dưới đây:

Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và trục hoành.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại \(x = h\).

b) Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng \(x\left( {0 \le x \le h} \right)\), cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là \(a\).

c) Theo định lí Tha-les, ta có \(\frac{x}{h} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{L}{2}}} \Rightarrow a = \frac{L}{h}x\).

Do đó, diện tích của mặt cắt này là \(S\left( x \right) = \frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\).

d) Thể tích của khối chóp này là \(V = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^h {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{x^2}dx} = \left. {\left( {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{L^2}h\).

Đáp án đúng là: A

Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

Quãng đường xe đi được là:

\({S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{12} {2t{\rm{d}}t} \) \( = \left. {{t^2}} \right|_0^{12}\) \( = 144\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = - 12t + c\).

Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: \({v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

\( \Rightarrow - 12.0 + c = 24\)\( \Rightarrow c = 24\)\( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 12t + 24\).

Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

\( - 12t + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).

Khi đó, quãng đường xe đi được là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right){\rm{d}}t} \) \( = \left. {\left( { - 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tổng quãng đường xe đi được là: \(S = {S_1} + {S_2} = 168\,\left( {\rm{m}} \right)\).