Trong không gian \(Oxyz\), một vòm được thiết kế có bề mặt là mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;20} \right)\), bán kính bằng \(50{\rm{m}}\) và có đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Chiều cao của vòm là bao nhiêu? (biết đơn vị của hệ trục tọa độ là mét).

Đáp án đúng là: A

Tâm \(I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t;1 + 2t; - 2 + t} \right)\).

 \(\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t; - 3 + 2t; - 3 + t} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t;1 + 2t; - 5 + t} \right)\)

Vì \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) nên ta có

\[\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\end{array}\]

Vậy bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\): \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1;2;3} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).

Do đó số đo góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\left( P \right)\) bằng \(0^\circ \).

b) \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {OH} = \left( {3; - 1;2} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \frac{1}{{14}}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).

\(\sin \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 1} \right).1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \beta \approx 26,5^\circ < 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;m;0} \right)\).

\(\sin \left( {{d_2},\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.m + \left( { - 1} \right).0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \sin 30^\circ \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{\sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 + 4m + 4{m^2}} \right) = 3\left( {1 + {m^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {21} }}{5}\).

Suy ra tổng các giá trị của \(m\) là \( - \frac{8}{5}\).