Câu hỏi:

25/03/2026 114

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $3\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Tính diện tích tam giác $ABC.$

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $3\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Tính diện tích tam giác $ABC.$ (ảnh 1)$

Kẻ đường cao $AH$ vì tam giác $ABC$ đều (gt) nên đường cao $AH$ đồng thời là đường phân giác của góc $BAC$, ta có: $\widehat {BAH} = \widehat {CAH} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .$

Kéo dài $AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$. Khi đó $\widehat {BOD}$ và $\widehat {BAD}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ) .

Suy ra $\widehat {BOD} = 2\widehat {BAD} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .$

Tam giác $BHO$ vuông tại $H$ có cạnh huyền $OB = 3\,{\rm{cm}}$ (gt) và $\widehat {BOD} = 60^\circ .$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$BH = OB \cdot \sin \widehat {BOH} = 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vì $\Delta ABC$ đều nên đường cao $AH$ đồng thời là trung tuyến hay $H$ là trung điểm của $BC.$

Suy ra $BC = 2BH = 2 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có cạnh huyền: $AB = BC = 3\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}$ và $\widehat {BAH} = 30^\circ \,\,{\rm{(cmt)}}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\[AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH} = 3\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = \frac{9}{2}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Diện tích tam giác đều $ABC$ là: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\]

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là \[\frac{{27\sqrt 3 }}{4}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, các đường cao $AD,\,BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H.$

(a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC.$

(b) Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$ và cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại $K$ và $T$ ($K$ nằm giữa $M$ và $T$). Chứng minh rằng: $MK \cdot MT = ME \cdot MF$.

(c) Chứng minh $\widehat {MDK} = \widehat {MTI}$.

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, các đường cao $AD,\,BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H.$ (a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC.$ (ảnh 1)$

a) Ta có: $\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)$

Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính $\frac{{BC}}{2}$.

b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có $\widehat {FEB} = \widehat {FCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $FB$).

Do đó .

Suy ra $\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}$ hay $ME \cdot MF = MB \cdot MC$.

Chứng minh tương tự với đường tròn $\left( O \right)$ ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]

Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)

c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp ($\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ $)

Suy ra $\widehat {HED} = \widehat {HCD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).

Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên $\widehat {HCD} = \widehat {FEB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).

Suy ra $\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)$.

Lai có $\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}$ (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung $BF$).

Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].

Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); $\widehat C$ chung.

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}$ hay $MI \cdot MD = ME.MF$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MI \cdot MD = MK \cdot MT.$ hay $\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.$

Xét $\Delta MDK$ và $\Delta MTI$ có $\widehat C$ chung; $\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.$

Do đó (c.g.c).

Suy ra $\widehat {MDK} = \widehat {MTI}$ (hai góc tương ứng).

Câu 2

Một người vay 20 triệu đồng ờ ngân hàng thời hạn một năm phải trả cả vốn lẫn lời. Song được ngân hàng tiếp tục cho vay thêm một năm nữa. Hết hai năm phải trả $24\,\,200\,\,000$ đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm.

Lời giải

Gọi $x\,\,\left( {\rm{\% }} \right)$ là lăi suất trong một năm của ngân hàng $\left( {x > 0} \right)$.

Sau năm thứ nhất người đó phải trả:

$20\,\,000\,\,000 + 20\,\,000\,\,000 \cdot \frac{x}{{100}} = 200\,\,000\left( {100 + x} \right)$

Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:

$200\,\,000\left( {100 + x} \right)\frac{x}{{100}} = 2\,\,000x\left( {x + 100} \right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$200\,\,000\left( {100 + x} \right) + 2\,\,000x\left( {x + 100} \right) = 24\,\,200\,\,000$

$100\left( {100 + x} \right) + x\left( {x + 100} \right) = 12\,\,100$

${x^2} + 200x - 2\,\,100\,\,000 = 0$

$x = 10$ (TMĐK) hoặc $x = - 210$ (loại).

Vậy lãi của ngân hàng một năm là $10{\rm{\% }}$.

Câu 3