Câu hỏi:

25/03/2026 186

Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $R\, = \,5\,\,{\rm{cm}}$.

(a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong $\left( O \right)$.

(b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong $\left( O \right)$ có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi hình vuông nội tiếp trong đường tròn $\left( {O\,;\,5\,{\rm{cm}}} \right)$ là $ABCD$

$Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $R\, = \,5\,\,{\rm{cm}}$. (a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong $\left( O \right)$. (b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong (ảnh 1)$

Ta có $AC\, = \,2R\, = \,2 \cdot \,5\, = \,10\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Gọi $x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$ là cạnh hình vuông.

Theo định lí Pythagore, ta có: ${x^2}\, + \,{x^2}\, = \,A{C^2}$ hay $2{x^2}\, = \,{10^2}.$

Suy ra ${x^2}\, = \,50$ nên $x\, = \,\sqrt {50} \, = \,5\sqrt 2 $.

Vậy cạnh hình vuông nội tiếp trong đường tròn $\left( {O\,;\,\,\,5\,\,{\rm{cm}}} \right)$ bằng $5\sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}.$

b) Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,\,\,b\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$ $\left( {a\, > \,b\, > \,0} \right).$

$Cho đường tròn tâm $O$ có bán kính $R\, = \,5\,\,{\rm{cm}}$. (a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong $\left( O \right)$. (b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong (ảnh 2)$

Nửa chu vi hình chữ nhật là: $a\, + \,b\, = 14$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Theo định lí Pythagore, ta có:

${a^2}\, + \,{b^2}\, = \,A{C^2}$ hay ${a^2}\, + \,{b^2}\, = \,{10^2} = \,100$.

Theo bài ra, ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,a\, + b\, = \,14\\{a^2}\, + \,{b^2}\, = \,100.\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất, ta có $b\, = \,14\, - \,a$.

Thế $b\, = \,14\, - \,a$ vào phương trình thứ hai, ta có:

${a^2}\, + \,{\left( {14\, - \,a} \right)^2}\, = \,100$

${a^2}\, + \,\left( {196\, - \,28a\, + {a^2}} \right) = \,100$

${a^2}\, - \,14a\, + \,48\, = \,0$

$a = 8$ hoặc $a\, = 6$

• Với $a = 8$ thì $b\, = 6$ (TMĐK).

• Với $a\, = 6$ thì $b = 8$ (loại vì $a\, > \,b$).

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là $8\,\,{\rm{cm}}$ và chiều rộng là $6\,\,{\rm{cm}}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, các đường cao $AD,\,BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H.$

(a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC.$

(b) Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$ và cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại $K$ và $T$ ($K$ nằm giữa $M$ và $T$). Chứng minh rằng: $MK \cdot MT = ME \cdot MF$.

(c) Chứng minh $\widehat {MDK} = \widehat {MTI}$.

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, các đường cao $AD,\,BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H.$ (a) Chứng minh tứ giác \[BFEC\] nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC.$ (ảnh 1)$

a) Ta có: $\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)$

Suy ra, tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \[I\] là trung điểm của \[BC\] và bán kính $\frac{{BC}}{2}$.

b) Xét đường tròn \[\left( I \right)\] ta có $\widehat {FEB} = \widehat {FCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $FB$).

Do đó .

Suy ra $\frac{{ME}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{MF}}$ hay $ME \cdot MF = MB \cdot MC$.

Chứng minh tương tự với đường tròn $\left( O \right)$ ta có: \[MB \cdot MC = MK \cdot MT\]

Do đó \[MK \cdot MT = ME \cdot MF\]. (1)

c) Dễ thấy tứ giác \[HECD\] nội tiếp ($\widehat {HEC} + \widehat {HDC} = 180^\circ $)

Suy ra $\widehat {HED} = \widehat {HCD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung \[HD\]).

Lại có \[BFEC\] nội tiếp nên $\widehat {HCD} = \widehat {FEB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung \[FB\]).

Suy ra $\widehat {HED} = \widehat {FEB}\,\,\left( { = \widehat {HCD}} \right)$.

Lai có $\widehat {BIF} = 2\widehat {FCB}$ (góc ở tâm đường tròn \[\left( I \right)\] và góc nội tiếp cùng chắn cung $BF$).

Suy ra \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\].

Xét \[\Delta MIF\] và \[\Delta MED\] có \[\widehat {BIF} = \widehat {MED}\] (cmt); $\widehat C$ chung.

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MD}}$ hay $MI \cdot MD = ME.MF$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MI \cdot MD = MK \cdot MT.$ hay $\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.$

Xét $\Delta MDK$ và $\Delta MTI$ có $\widehat C$ chung; $\frac{{MD}}{{MT}} = \frac{{MK}}{{MI}}.$

Do đó (c.g.c).

Suy ra $\widehat {MDK} = \widehat {MTI}$ (hai góc tương ứng).

Câu 2

Một người vay 20 triệu đồng ờ ngân hàng thời hạn một năm phải trả cả vốn lẫn lời. Song được ngân hàng tiếp tục cho vay thêm một năm nữa. Hết hai năm phải trả $24\,\,200\,\,000$ đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm.

Lời giải

Gọi $x\,\,\left( {\rm{\% }} \right)$ là lăi suất trong một năm của ngân hàng $\left( {x > 0} \right)$.

Sau năm thứ nhất người đó phải trả:

$20\,\,000\,\,000 + 20\,\,000\,\,000 \cdot \frac{x}{{100}} = 200\,\,000\left( {100 + x} \right)$

Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:

$200\,\,000\left( {100 + x} \right)\frac{x}{{100}} = 2\,\,000x\left( {x + 100} \right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$200\,\,000\left( {100 + x} \right) + 2\,\,000x\left( {x + 100} \right) = 24\,\,200\,\,000$

$100\left( {100 + x} \right) + x\left( {x + 100} \right) = 12\,\,100$

${x^2} + 200x - 2\,\,100\,\,000 = 0$

$x = 10$ (TMĐK) hoặc $x = - 210$ (loại).

Vậy lãi của ngân hàng một năm là $10{\rm{\% }}$.

Câu 3