Một người đứng cách chân tháp \[13,65{\rm{ m}}\] nhìn lên đỉnh tháp với phương nhìn hợp với phương nằm ngang một góc bằng   hỏi tháp cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

 Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,\] do đó \(AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\), ta có:

\[CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:

\[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},\] hay \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},\] suy ra \[DC = DB\sqrt 3 \].

Mà \[DC + DB = BC = 18\]

Suy ra \[DB\sqrt 3 + DB = 18\], hay \[DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18\]

Do đó \[DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6,59{\rm{\;cm}}\] và \[DC = DB\sqrt 3 \approx 6,59 \cdot \sqrt 3 \approx 11,41\] (cm).

Lại có \(CH = CD + DH\) nên \(DH = CH - CD \approx 13,5 - 11,41 = 2,09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta ADH\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65,1181\]

Suy ra \[AD \approx \sqrt {65,1181} \approx 8,07{\rm{\;cm}}\].

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là: \(\overline {xy} \) \(\left( {1 \le x \le 9,\,\,0 \le y \le 9,\,\,x \in \mathbb{N},\,\,y \in \mathbb{N}} \right).\)

⦁ Tổng của hai chữ số đó là: \(x + y\).

Theo bài, tổng của hai chữ số đó bằng 10 nên ta có phương trình: \(x + y = 10\). (1)

Giá trị của số cần tìm là \(\overline {xy} = 10x + y\)

Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số là \(\overline {x0y} = 100x + y.\)

Theo bài, số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12 nên ta có: \(\overline {x0y} = \overline {xy} \cdot 7 + 12\)

Suy ra \(100x + y = \left( {10x + y} \right) \cdot 7 + 12\)

 \(100x + y = 70x + 7y + 12\)

 \(30x - 6y = 12\)

 \(5x - y = 2\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 10}\\{5x - y = 2}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(6x = 12,\) suy ra \[x = 2\] (thỏa mãn).

Thay \(x = 2\) vào phương trình (1), ta được \(2 + y = 10\), suy ra \(y = 8\) (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 28.