Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là \(50\) cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn C.

Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là \({R_1} = 50\)cm.

Gọi \({R_2}\), \({R_3}\),…,\({R_n}\) lần lượt là bán kính của các khối cầu \({R_2},{R_3},...,{R_n}\) nằm nằm ngay trên khối cầu dưới cùng.

Ta có \({R_2} = \frac{{{R_1}}}{2}\), \({R_3} = \frac{{{R_2}}}{2} = \frac{{{R_1}}}{4}\),…., \({R_n} = \frac{{{R_{n - 1}}}}{2} = \frac{{{R_1}}}{{{2^{n - 1}}}}\)

Gọi \({h_n}\) là chiều cao của mô hình gồm có \(n\) khối cầu chồng lên nhau.

Ta có

\({h_n} = 2{R_1} + 2{R_2} + 2{R_3} + ... + 2{R_n} = 2\left( {{R_1} + \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{4}{R_1} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}{R_1}} \right) = 2{R_1}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\)

Suy ra chiều cao mô hình là \[h = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {h_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {2{R_1}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)} \right]\]

Xét dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...;\frac{1}{{{2^{n - 1}}}};\frac{1}{{{2^n}}};...\) là một cấp số nhân có \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên là dãy cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{2^n}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\)

Suy ra \(h = 2{R_1}.2 = 200\)cm. Vậy chiều cao mô hình nhỏ hơn \(200\)cm.