Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là \(50\) cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn A.

Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

 Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 55,8{\rm{m}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là \({d_2} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là \({d_3} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là \({d_4} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\).

…………………………………….

 Thời điểm chạm đất lần thứ \(n,\;\left( {n > 1} \right)\) là \({d_n} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\).

Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là

\(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).

Vì \(2.\frac{{55,8}}{{10}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\), …, \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\),…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = \frac{1}{{10}}\), nên ta có \(2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = \frac{{2.\frac{{55,8}}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 12,4\).

Vậy \(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2\).

Lời giải

Chọn A.

\[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\].