Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2}&{{\rm{ khi }}x <  - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 1} }&{{\rm{ khi }}x \ge  - 1}\end{array}} \right.\).

Tìm giá trị của \(a\) để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 2}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{{x^2} + a}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ne 4}\\{2a + 1}&{{\rm{ khi }}x = 4}\end{array}} \right.\). Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \({x_0} = 4\).

\[\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\] bằng

Một cái hồ chứa \(600l\) nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối \(30\;g/l\) vào hồ với tốc độ \(15l/\)phút. Nồng độ muối trong hồ còn bao nhiêu gam/lít khi \(t\) dần về dương vô cùng?

Tìm m để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\quad \,khi\;x \ne  - 2\\\quad m\quad \quad khi\;x =  - 2\end{array} \right.\] liên tục tại \(x =  - 2\)

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\); \({v_n} = \frac{3}{{n + 3}}\). Tính \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).