Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \pi x}&{{\rm{khi}}\,\,\left| x \right| \le 1}\\{x + 1\;}&{{\rm{khi}}\,\;\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Trả lời: \(30\).

Sau \(t\) phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là \(600 + 15t\) (\(l\)) và lượng muối có được là \(30.15t(\;g)\).

Nồng độ muối của nước là: \(C(t) = \frac{{30.15t}}{{600 + 15t}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}(\;g/l)\).

Khi \(t\) dần về dương vô cùng, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } C(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{40}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{40}}{t} + 1}} = 30(\;g/l)\).

Lời giải

Trả lời: \(2\).

Trên các khoảng \((0; + \infty ),( - \infty ;0)\), hàm số \(f(x)\) là các hàm đa thức nên hàm số liên tục.

Vậy \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f(x)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).

Ta có: \(f(0) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} + a} \right) = a\).

Ta thấy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 0\) khi và chỉ khi \(a = 2\).

Vậy, với \(a = 2\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).