Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao \(8m\) so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?

Lời giải

Chọn A.

Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

 Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 55,8{\rm{m}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là \({d_2} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là \({d_3} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là \({d_4} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\).

…………………………………….

 Thời điểm chạm đất lần thứ \(n,\;\left( {n > 1} \right)\) là \({d_n} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\).

Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là

\(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).

Vì \(2.\frac{{55,8}}{{10}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\), …, \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\),…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = \frac{1}{{10}}\), nên ta có \(2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = \frac{{2.\frac{{55,8}}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 12,4\).

Vậy \(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2\).

Lời giải

a) Sai    

b) Đúng  

c) Đúng

d) Sai

Ta có: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x) =  - 4\)

Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} <  - 1\) và \({x_n} \to  - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) =  - 1 - 2 =  - 3\).

Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} >  - 1\) và \({x_n} \to  - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1}  = \sqrt 2 \).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne \sqrt 2 \) ) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f(x)\).