Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2}&{{\rm{ khi }}x <  - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 1} }&{{\rm{ khi }}x \ge  - 1}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Chọn C.

Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là \(8m\).

Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là \(8 + 2.8.\frac{3}{4}\).

Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay là \(8 + 2.8.\frac{3}{4} + ....... + 2.8.{(\frac{3}{4})^{n - 1}} = 8 + \frac{{1 - {{(\frac{3}{4})}^n}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 8 + 48(1 - {(\frac{3}{4})^{n - 1}})\).

Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc không máy nữa bằng:

\(\lim [8 + 48(1 - {(\frac{3}{4})^{n - 1}}){\rm{]}} = 8 + 48 = 56\).

Lời giải

Chọn A.

Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

 Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 55,8{\rm{m}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là \({d_2} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là \({d_3} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\).

 Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là \({d_4} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\).

…………………………………….

 Thời điểm chạm đất lần thứ \(n,\;\left( {n > 1} \right)\) là \({d_n} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\).

Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là

\(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).

Vì \(2.\frac{{55,8}}{{10}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\), …, \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\),…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = \frac{1}{{10}}\), nên ta có \(2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = \frac{{2.\frac{{55,8}}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 12,4\).

Vậy \(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2\).