Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] thỏa mãn \[AB = AC = 4,\] \[\widehat {BAC} = 30^\circ \]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với \[\left( {ABC} \right)\] cắt đoạn \[SA\] tại \[M\] sao cho \[SM = 2MA\]. Diện tích thiết diện của \[\left( P \right)\] và hình chóp \[S.ABC\] bằng bao nhiêu?

Trong tam giác \(SAC\) có \(O\) là trung điểm \(AC\), \(I\) là trung điểm \(SC\) nên \[IO//SA\]

\( \Rightarrow IO\) song song với hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt \(\left( {SAC} \right)\) theo giao tuyến \(IO.\)

Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt \(\left( {SBC} \right)\) theo giao tuyến \(BI\), cắt \(\left( {SCD} \right)\) theo giao tuyến \(ID\), cắt \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(BD\) \( \Rightarrow \) thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là tam giác \(IBD.\)

Vậy đáp án D sai.

Vì  \(AA'//CC'\) và \(A'\) thuộc \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A'\) là hình chiếu song song của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo phương \(CC'\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng \(MM'//BB'\) với \(M' \in A'B'\). Khi đó \(M'\) là hình chiếu song song của \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) theo phương \(BB'\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(BB'C'\) nên \(OI//BB' \Rightarrow OI//AA'\) mà \(I \in \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(I\) là ảnh của \(O\)  trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) qua phép chiếu song song phương \(AA'\).