Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\) với \(AB = a\) và \(A'B = a\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là    

1. Đúng. \(y\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi  \cdot 0} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi  \cdot 0} \right) = 0\); \(y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi  \cdot 1} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi  \cdot 1} \right) = 0\).

Vậy \(y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0\).

2. Sai. Ta có \(y' = \frac{1}{2} \cdot 2\pi  \cdot \cos \left( {2\pi x} \right) + \frac{1}{4} \cdot 4\pi  \cdot \cos \left( {4\pi x} \right) = \pi \left[ {\cos \left( {2\pi x} \right) + \cos \left( {4\pi x} \right)} \right]\).

3. Sai. Tốc độ thay đổi của mực nước bằng 0 khi \(y' = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2\pi x} \right) + \cos \left( {4\pi x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi x} \right) =  - \cos \left( {2\pi x} \right)\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi x} \right) = \cos \left( {\pi  - 2\pi x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4\pi x = \pi  - 2\pi x + k2\pi \\4\pi x =  - \left( {\pi  - 2\pi x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{6} + \frac{k}{3}\\x =  - \frac{1}{2} + k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;1} \right]\), các giá trị \(x\)thỏa mãn là \(x = \frac{1}{6};x = \frac{1}{2};x = \frac{5}{6}\).

Vậy có 3 thời điểm tốc độ bằng 0.

4. Đúng. Ta có \(y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0\);

\(y\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi  \cdot \frac{1}{6}} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi  \cdot \frac{1}{6}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{8} \approx 0,65\) m;

\(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\sin \pi  + \frac{1}{4}\sin 2\pi  = 0\);

\(y\left( {\frac{5}{6}} \right) = \frac{1}{2}\sin \left( {2\pi  \cdot \frac{5}{6}} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {4\pi  \cdot \frac{5}{6}} \right) =  - \frac{{3\sqrt 3 }}{8}\).

Vậy độ cao lớn nhất là khoảng 0,65 m tại thời điểm \(x = \frac{1}{6}\) giây. Chọn 1, 4.

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(SA \subset \left( {SAC} \right),SA \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right),\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Có \(AB \bot AC,AB \bot SA \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\). Suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Do đó \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) là đáp án sai. Chọn A.