Cho phương trình \({x^2} - 11x + 18 = 0\). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)và không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(Q = {x_2} + \sqrt {{x_1} + 7} \) với \({x_1} > {x_2}\).

a) Xét \((O)\); có: \(\widehat {AEB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = {90^o}\)

Đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm I nên \(\widehat {KIB} = {90^o}\)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K;E;B\)thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (1)

Xét \(\Delta KIB\)vuông tại \(I\) có cạnh huyền\(KB\) suy ra\(K;I;B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(K;I;E;B\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KB\).

b) Xét \(\Delta AKI\)vuông tại I và \(\Delta ABE\)vuông tại E có \(\widehat {BAE}\)là góc chung nên

\(\Delta AKI\)\(\Delta ABE\) (g-g) do đó \(\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AE}}\) suy ra \(AK.AE = AB.AI\)(3)

Chứng minh được \(K\)là trực tâm của \(\Delta APB\) nên \(BQ \bot AP\) (\(Q \in AP\)) hay \(\widehat {AQK} = {90^0}\)

Xét \(\Delta BKI\)vuông tại I và \(\Delta BAQ\)vuông tại Q có: \(\widehat {ABQ}\)là góc chung nên

\(\Delta BKI\)\(\Delta BAQ\) (g-g) do đó \(\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{BI}}{{BQ}}\) suy ra \(BK.BQ = AB.BI\)(4)

Từ (3) và (4) ta có: \(AK.AE + BK.BQ = AB.AI + AB.BI = AB(AI + BI) = AB.AB = A{B^2}\)

Vậy \(AK.AE + BK.BQ = A{B^2}\)

c) Chứng minh \(IK\) là phân giác của \(\widehat {EIQ}\)

Chứng minh được bốn điểm \(A;I;Q;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AK\) suy ra \(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(QK\))

\(KEBI\)là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EK\))

Chứng minh được Q thuộc đường tròn đường kính AB

Lại có: \(\widehat {QAK} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(QE\))

Suy ra \(\widehat {KIE} = \widehat {KIQ}\) hay \(IK\)là phân giác của \(\widehat {EIQ}\)

Chứng minh\(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\)

\(\Delta OQB\)cân tại O nên \(\widehat {OQK} = \widehat {OBQ}\) (5)

Chứng minh được \(\Delta IBK\)\(\Delta QPK\)(g-g) suy ra \(\widehat {OBK} = \widehat {QPK}\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {OQK} = \widehat {QPK}\)(*)

Chứng minh được \(\Delta IAK\)\(\Delta EPK\)(g-g) suy ra \(\widehat {IAK} = \widehat {EPK}\)mà \(\widehat {IAK} = \widehat {KQE}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)) nên \(\widehat {EPK} = \widehat {KQE}\)(**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\widehat {OQK} + \widehat {KQE} = \widehat {QPK} + \widehat {EPK}\) suy ra \(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\)

Gọi \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} y\) ( học sinh) lần lượt là số học sinh nam, số học sinh nữ của lớp \(9A\) (đk: \(x,y \in {N^*}\))

Tìm được một phương trình

Lập được hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 47\\133{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000x + 114{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 000y = 5{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 814{\kern 1pt} {\kern 1pt} 000\end{array} \right.\)

Tìm được \(x = 24;y = 23\) và kết luận