Cho đường tròn \((O;R)\), đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\) (\(I\) nằm giữa \(A\) và \(O\)). Lấy điểm \(E\) bất kì trên cung nhỏ \(BC\) (\(E\) khác \(B\)và \(C\)). \(AE\) cắt \(CD\) tại \(K\) .

(a) Chứng minh bốn điểm \(K;\,E\,;B\,;I\)cùng thuộc một đường tròn.

(b) Gọi \(P\) là giao điểm của tia \(BE\) và tia \(DC\), \(Q\) là giao điểm của \(AP\) và \(BK\). Chứng minh \(AK.AE + BK.BQ = A{B^2}\).

(c) Chứng minh \(IK\)là phân giác của \(\widehat {EIQ}\) và \(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\).

a) Xét \((O)\); có: \(\widehat {AEB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = {90^o}\)

Đường kính AB vuông góc với dây CD tại điểm I nên \(\widehat {KIB} = {90^o}\)

Xét \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) có cạnh huyền \(KB\) suy ra \(K;E;B\)thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (1)

Xét \(\Delta KIB\)vuông tại \(I\) có cạnh huyền\(KB\) suy ra\(K;I;B\) thuộc đường tròn đường kính \(KB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(K;I;E;B\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KB\).

b) Xét \(\Delta AKI\)vuông tại I và \(\Delta ABE\)vuông tại E có \(\widehat {BAE}\)là góc chung nên

\(\Delta AKI\)\(\Delta ABE\) (g-g) do đó \(\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AE}}\) suy ra \(AK.AE = AB.AI\)(3)

Chứng minh được \(K\)là trực tâm của \(\Delta APB\) nên \(BQ \bot AP\) (\(Q \in AP\)) hay \(\widehat {AQK} = {90^0}\)

Xét \(\Delta BKI\)vuông tại I và \(\Delta BAQ\)vuông tại Q có: \(\widehat {ABQ}\)là góc chung nên

\(\Delta BKI\)\(\Delta BAQ\) (g-g) do đó \(\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{BI}}{{BQ}}\) suy ra \(BK.BQ = AB.BI\)(4)

Từ (3) và (4) ta có: \(AK.AE + BK.BQ = AB.AI + AB.BI = AB(AI + BI) = AB.AB = A{B^2}\)

Vậy \(AK.AE + BK.BQ = A{B^2}\)

c) Chứng minh \(IK\) là phân giác của \(\widehat {EIQ}\)

Chứng minh được bốn điểm \(A;I;Q;K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AK\) suy ra \(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(QK\))

\(KEBI\)là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EK\))

Chứng minh được Q thuộc đường tròn đường kính AB

Lại có: \(\widehat {QAK} = \widehat {KBE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(QE\))

Suy ra \(\widehat {KIE} = \widehat {KIQ}\) hay \(IK\)là phân giác của \(\widehat {EIQ}\)

Chứng minh\(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\)

\(\Delta OQB\)cân tại O nên \(\widehat {OQK} = \widehat {OBQ}\) (5)

Chứng minh được \(\Delta IBK\)\(\Delta QPK\)(g-g) suy ra \(\widehat {OBK} = \widehat {QPK}\)(6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {OQK} = \widehat {QPK}\)(*)

Chứng minh được \(\Delta IAK\)\(\Delta EPK\)(g-g) suy ra \(\widehat {IAK} = \widehat {EPK}\)mà \(\widehat {IAK} = \widehat {KQE}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)) nên \(\widehat {EPK} = \widehat {KQE}\)(**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\widehat {OQK} + \widehat {KQE} = \widehat {QPK} + \widehat {EPK}\) suy ra \(\widehat {OQE} = \widehat {QPE}\)