Toán thực tế.

Nhà bạn An (vị trí A trên hình vẽ) cách nhà bạn Châu (vị trí C trên hình vẽ) 40 m và cách nhà bạn Bình (vị trí B trên hình vẽ) 30 m. Biết rằng 3 vị trí: nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam giác vuông (xem hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu.

Hướng dẫn giải

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: \(Q = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(Q\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Đáp án đúng là: A