Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng \[5\] m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn. Tuy nhiên cần có 1 khoảng trống để dựng 1 cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại 1 phần đất nhỏ không trồng cây (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó \(AB = 6m\). Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền (Kết quả làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

                              

a) Đúng.

Trong 4 giây đầu chất điểm chuyển động đều với vận tốc \({v_0}\) nên quảng đường di chuyển được trong 4 giây đầu là \(S(4) = 4{v_0}\,\,\left( m \right)\)

b) Sai.

Trong 4 giây đầu chất điểm chuyển động đều với vận tốc \({v_0}\), giây tiếp theo chất điểm chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\), do đó quãng đường đi được sau 5 giây là  \(S\left( 5 \right) = 4{v_0} + \int\limits_4^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \,\,\,\,\left( m \right)\)

c) Đúng.

Tại thời điểm \(t = 4\) vật đang chuyển động với vận tốc \({v_0}\) nên

\(v\left( 4 \right) = {v_0} \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}.4 + a = {v_0} \Leftrightarrow a = {v_0} + 10\)

d) Sai.

Vì \(a = {v_0} + 10\) suy ra \(v(t) =  - \frac{5}{2}t + {v_0} + 10\,\left( {m/s} \right),\,\left( {t \ge 4} \right)\)

Gọi \(k\) là thời điểm vật dừng hẳn, ta có:

\(v\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}k + {v_0} + 10 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}({v_0} + 10) \Leftrightarrow k = \frac{{2{v_0}}}{5} + 4\)

Tổng quãng đường vật đi được là

\(80 = 4{v_0} + \int\limits_4^k {( - \frac{5}{2}t + {v_0} + 10){\rm{d}}t} \, \Leftrightarrow 80 = 4{v_0} + ( - \frac{5}{4}{t^2} + {v_0}t + 10t)\left| \begin{array}{l}k\\4\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \)

\(80 = 4{v_0} - \frac{5}{4}({k^2} - 4) + {v_0}\left( {k - 4} \right) + 10\left( {k - 4} \right)\,\, \Leftrightarrow 80 = 4{v_0} - \frac{5}{4}\left( {\frac{2}{5}{v_0}} \right)\left( {\frac{2}{5}{v_0} + 8} \right) + {v_0}.\frac{2}{5}{v_0} + 10.\frac{2}{5}{v_0}\)

\( \Leftrightarrow 80 = 4{v_0} - \frac{{v_0^2}}{5} - 4{v_0} + \frac{{2v_0^2}}{5} + 4{v_0} \Leftrightarrow \frac{{v_0^2}}{5} + 4{v_0} - 80 = 0 \Leftrightarrow v_0^2 + 10{v_0} - 200 = 0 \Leftrightarrow {v_0} = 10\)

Vậy \({v_0} > 8\,\left( {m/s} \right)\).

Trả lời: 0,75

Ta có \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\); trong mp\(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(SH \bot AD\) thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(OA\), vì \(\Delta ASO\) cân tại \(S\) nên \(AO \bot SI\) mà \(AO \bot SH\) \( \Rightarrow OA \bot (SHI) \Rightarrow OA \bot HI\)

Tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) có \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = 2\) và \(\tan \widehat {DAC} = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \widehat {DAC} = 30^\circ \)

Tam giác \(AHI\) vuông tại \(I\) có \(AH = \frac{{AI}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow HD = AD - AH = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(ABH\) vuông tại \(A\) có \(HB = \sqrt {A{H^2} + A{B^2}}  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\), \(A{B^2} = IB.HB\) \( \Rightarrow IB = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), dựng hình bình hành \(ABEC\) thì \(BE\,{\rm{//}}\,AC\), \(BE \subset \left( {SBE} \right)\) \( \Rightarrow AC\,{\rm{//}}\,\left( {SBE} \right)\) \( \Rightarrow \) \(d\left( {SB,\,AC} \right) = d\left( {AC,\,\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {SBE} \right)} \right)\)

Mà \(\frac{{IB}}{{HB}} = \frac{3}{4}\) nên \(d\left( {I,\,\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{3}{4}d\left( {H,\,\left( {SBE} \right)} \right)\)

Lại có tam giác \(OAB\) là tam giác đều cạnh 1 nên \(BI \bot AC\) \( \Rightarrow BI \bot BE\) mà \(BE \bot SH\) \( \Rightarrow BE \bot \left( {SBH} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SBE} \right) \bot \left( {SBH} \right)\).

Ta có:\(\left( {SBE} \right) \cap \left( {SBH} \right) = SB\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SBH} \right)\), kẻ \(HK \bot SB\) thì \(HK \bot \left( {SBE} \right)\) \( \Rightarrow HK = d\left( {H,\,\left( {SBE} \right)} \right)\)

Ta có: \(SH = HD.\tan 60^\circ  = 2\); \[HB = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\] .

Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H\) có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} = 1\) \( \Rightarrow HK = 1\).

Vậy \(d\left( {H,\,\left( {SBE} \right)} \right) = HK = 1\) và \(d(AC,\,SB) = d\left( {I,\,\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{3}{4}d\left( {H,\,\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{3}{4} = 0,75\).