Cho $D_1, D_2$ và $D_3$ là ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Dao động tổng hợp của $D_1$ và $D_2$ có phương trình $x_{12}=3\sqrt{3}\cos \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right) cm$. Dao động tổng hợp của $D_2$ và $D_3$ có phương trình $x_{23}=3\cos \omega t \left(cm\right)$. Dao động $D_1$ ngược pha với dao động $D_3$. Biên độ của dao động $D_2$ có giá trị nhỏ nhất là

Chọn đáp án A

Cách 1:

Xây dựng giãn đồ vectơ như hình vẽ.

Ta thấy vectơ $\overrightarrow{A_2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{A_2}$ trùng với OH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}\Rightarrow OH=\frac{3\sqrt{3}}{2}cm$

$\Rightarrow A_{2\min }=OH=\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,6cm$

Cách 2. Biến đổi đại số.

$\left\{\begin{array}{l}{x}_{12}=x_1+x_2\\ x_{23}=x_2+x_3\\ \frac{x_1}{x_3}=-\frac{A_1}{A_3}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_{12}=x_1+x_2\\ x_{23}=x_2-\underset{x_3}{\underbrace{\frac{A_3}{A_1}{x}_1\Rightarrow }}{x}_2=\frac{x_{23}+\frac{A_3}{A_1}{x}_{12}}{1+\frac{A_3}{A_1}}\end{array}\right.$

(Mục đích của chúng ta là tìm phương trình $x_2$ theo $x_{12}$ và $x_{23}$ bằng cách khử $x_1$ và $x_3$).

Hàm $x_2$ được ghi lại $x_2=\frac{\underset{x_{23}}{\underbrace{3\cos \omega t}}+\frac{A_3}{A_1}.3\sqrt{3}\cos \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)}{1+\frac{A_3}{A_1}}$

Nhận thấy hai phương trình $x_{23}$ và hàm đóng khung ở biểu thức trên dao động vuông pha với nhau nên biên độ của phương trình $x_2$ có dạng

$A_2=\frac{1}{1+\frac{A_3}{A_1}}\sqrt{3^2+{\left(3\sqrt{3}.\frac{A_3}{A_1}\right)}^2}$; Đặt $\frac{A_3}{A_1}=x>0$.

$$\begin{gathered} \Rightarrow A_2=\frac{1}{1+x}\sqrt{9+27x^2}=\sqrt{\frac{9+27x^2}{{\left(1+x\right)}^2}}=\sqrt{y}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{54x^2+36x-18}{{\left(1+x\right)}^4}=0\Rightarrow x_0=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow A_2=\sqrt{y}=\sqrt{\frac{9+27.{\left(3^{-1}\right)}^2}{{\left(1+3^{-1}\right)}^2}}=1,5\sqrt{3}cm\approx 2,6cm \end{gathered}$$

Chú ý: Có thể tìm cực trị (cũng là giá trị cực tiểu) hàm $A_2=\sqrt{\frac{9+27x^2}{{\left(1+x\right)}^2}}$ bằng máy tính cầm tay FX-570VN.

Các giá trị Start và End ra dựa vào số liệu

$\left\{\begin{array}{l}{A}_{12}=3\sqrt{3}cm\\ A_{23}=3cm\end{array}\right.\Rightarrow \frac{A_{12}}{A_{13}}=\sqrt{3}\approx 1,73A_{23}=3$ thì tỉ số $X=\frac{A_3}{A_1}$ cũng sẽ nằm cỡ vào trong các khoảng từ 1 đến 10 nếu ($A_3>A_1$) còn nếu ($A_3<A_1$) thì tỉ số $X\in \left(0;1\right)$. Bấm Mode 7 và nhập hàm $F\left(X\right)=\sqrt{\frac{27+9x^2}{{\left(1+x\right)}^2}}$

$\left\{\begin{array}{l}Start=1\\ End=10\end{array}\right.\stackrel{\frac{End-Start}{Step}+1\le 30}{\to }Step\ge 0,31\Rightarrow Step=0,4$ (Không tìm được cực trị).

Ta chọn lại $\left\{\begin{array}{l}Start=0,1\\ End=1\end{array}\right.\stackrel{\frac{End-Start}{Step}+1\le 30}{\to }Step\ge 0,031\Rightarrow Step=0,04$

Màn hình hiển thị ở dưới.

Chú ý:

Trong toán học khi bài toán yêu cầu tìm cực trị thì các em đạo hàm của hàm y sau đó xét $y\text{'}=0$ và lập bảng biến thiên để xét giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). Tuy nhiên thông thường đối với bài toán vật lí hàm y có nghĩa khi nghiệm đó là nghiệm dương, khi đó đề hỏi GTLN hoặc GTNN thì khi đạo hàm của hàm y thì chỉ có duy nhất 1 nghiệm dương (tức là tồn tại GTLN thì không tồn tại GTNN và ngược lại). Dó đó chúng ta không cần vẽ bảng biến thiên mà kết luận ngay tại giá trị $x_0$ nào đó ($x_0$ là nghiệm dương duy nhất của hàm $y\text{'}$) hàm đạt GTLN (GTNN).