Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi $A{C}^2 + B{D}^2 = A{D}^2 + B{C}^2$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB' và BC'

b) AC' và CD'

Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN.

Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc điểm O trên đường thẳng MN

a) Chứng minh rằng OH = a, HM = AN, HN = BN.

b) Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Bx'; By). Chứng minh BK là phân giác của góc ∠x'By.

C. Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định.

Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a.

a) Tính góc giữa SA và BC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào đúng? khẳng định nào sai?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

c) Một mặt phẳng (α) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thằng b thì a // (α).

d) Hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng (γ) thì (α) // (β).

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Trên mặt phẳng (α) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng (α) và nằm về một phía đối với mặt phẳng (α). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A', B', C', D'.

a) Tứ giác A', B', C', D' là hình gì? Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A', B', C', D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng (α).

c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A', B', C', D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α).

Xét các khẳng định sau đây xem khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

b) Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

c) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

d) Cho hai đường thẳng a và b. Nếu có mặt phẳng (α) không chứa cả a và b thì a và b chéo nhau.