Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng d thay đổi, luôn đi qua A, cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là B và C. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng BC.

Trong $∆$ABC ta lấy điểm M. Nối MA, MB, MC.

Ta cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A tam giác đều MCN. Suy ra: CM = MN.

Lấy AC làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B tam giác đều APC. Khi đó, CA = CP

Xét $∆$AMC và $∆$PNC:

CM = CN (vì ΔMCN đều)

CA = CP (vì ΔAPC đều)

Suy ra: $∆$AMC = $∆$PNC (c.g.c)

⇒ PN = AM

MA + MB + MC = NP + MB + MN

Ta có $∆$ABC cho trước nên điểm P cố định nên BM + MN + NP ngắn nhất khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.

Phân tích: Vì ABCD là hình vuông nên:

Ta có, ba điểm A, M, N cố định nên bài toán quy về việc dựng đỉnh C. Đỉnh C là giao điểm của :

- Cung chứa góc $90°$ dựng trên đoạn thẳng MN

- Cung chứa góc $45°$ dựng trên đoạn thẳng AM

Cách dựng:

- Dựng cung chứa góc $90°$ trên đoạn MN

- Dựng cung chứa góc $45°$ trên đoạn AM

Hai cung cắt nhau tại C

- Nối CM ,CN

- kẻ AB ⊥ CM tại B , AD ⊥ CN tại D

Tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng