Tại mặt chất lỏng, hai nguồn S₁, S₂ cách nhau 13 cm dao động theo phương thẳng đứng với phương trình u₁ = u₂ = Acos(40πt) (cm) (t tính bằng s). Tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 80 cm/s. Ở mặt chất lỏng, gọi ∆ là đường trung trực của S₁S₂. M là một điểm không nằm trên S₁S₂ và không thuộc ∆, sao cho phần tử chất lỏng tại M dao động với biên độ cực đại và cùng pha với hai nguồn. Khoảng cách ngắn nhất từ M đến ∆ là

Đáp án C

+ Áp dụng kết quả bài toán dao động cùng pha và cực đại

$\left\{\begin{array}{l}{d}_2-d_2=k\lambda \\ d_1+d_2=n\lambda \end{array}\right.$ với n, k cùng chẵn hoặc cùng lẻ

+ Để M gần D nhất thì k = 1, n khi đó có thể nhận các giá trị 1, 2, 3,… thỏa mãn bất đẳng thức tam giác $d_1+d_2>13\Rightarrow n>\frac{13}{\lambda }=3,25\Rightarrow n_{\min }=5$

+ Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_2-d_1=4\\ d_1+d_2=20\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{d}_2=12\text{ cm}\\ d_1=8\text{ cm}\end{array}\right.$

Từ hình vẽ: $\left\{\begin{array}{l}{8}^2=x^2+h^2\\ {12}^2={\left(13-x\right)}^2+h^2\end{array}\right.\Rightarrow x=3,42\text{ cm}$

Vậy khoảng cách giữa M và D khi đó là $\frac{13}{2}-3,42\approx 3,07\text{ cm}$

Ghi chú:

Bài toán xác định điều kiện để một điểm dao động cực đại và cùng pha với nguồn

Giả sử phương trình sóng tại hai nguồn là $u_1=u_2=a\cos \left(\omega t\right)$

Gọi M là một điểm trên mặt chất lỏng, M cách hai nguồn những khoảng lần lượt là, khi đó dao động do hai nguồn truyền đến M có phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_{1M}=a\cos \left(\omega t-\frac{2\pi d_1}{\lambda }\right)\\ u_{2M}=a\cos \left(\omega t-\frac{2\pi d_2}{\lambda }\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow u_M=u_{1M}+u_{2M} \\ =2a\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\lambda }\right)\cos \left(\omega t+\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }\right) \end{gathered}$$

+ Điều kiện để M dao động với biên độ cực đại

$a_M=2a\left|\cos \left(\pi \frac{d_1-d_2}{\pi }\right)\right|=2a\Rightarrow d_1-d_2=k\lambda$

Ta để ý rằng:

− Khi k là một số lẻ thì $u_M=-2a\cos \left(\omega t+\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }\right)$$=2a\cos \left(\omega t+\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }-\pi \right)$, khi đó để M cùng pha với nguồn thì $\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }-\pi =2n\pi \Rightarrow d_1+d_2=\left(2n+1\right)\lambda$, hay nói cách khác tổng khoảng cách từ M đến hai nguồn là một số lẻ lần bước sóng.

 − Khi k là một số chẵn thì $u_M=2a\cos \left(\omega t+\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }\right)$, khi đó để M cùng pha với nguồn thì $\pi \frac{d_1+d_2}{\lambda }=2n\pi \Rightarrow d_1+d_2=2n\lambda$, hay nói cách khác tổng khoảng cách từ M đến hai nguồn là một số chẵn lần bước sóng.

Tổng quát hóa, điều kiện để M dao động với biên độ cực đại và cùng pha với nguồn là

+ Cực đại: $d_2-d_1=k\lambda$

+ Cùng pha: $d_1+d_2=n\lambda$

Với k và n hoặc cùng chẵn hoặc cùng lẻ.