Cho hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox. Tại thời điểm ban đầu t = 0 hai điểm sáng cùng đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương với cùng độ lớn vận tốc, đến khi vận tốc của điểm sáng 1bằng không thì vận tốc của điểm sáng 2 mới giảm đi $\sqrt{2}$ lần. Vào thời điểm mà hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc lần tiếp theo sau thời điểm ban đầu thì tỉ số độ lớn li độ của chúng khi đó là

Đáp án C

− Tại thời điểm t = 0 hai điểm sáng cùng đi qua VTCB theo chiều dương

+ Phương trình dao động của hai điểm sáng:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1\cos \left({\omega }_{1}t-\frac{\pi }{2}\right)\\ x_2=A_2\cos \left({\omega }_{2}t-\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{v}_1={\omega }_1{A}_1\cos \left({\omega }_{1}t\right)\\ v_2={\omega }_2{A}_2\cos \left({\omega }_{2}t\right)\end{array}\right.$

+ Ở VTCB theo chiều dương hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc $\Rightarrow {\omega }_1{A}_1={\omega }_2{A}_2\Rightarrow \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{A_2}{A_1}$

− Công thức tính vận tốc tại thời điểm t: $v=\omega \sqrt{A^2-x^2}$

Khi vận tốc của điểm sáng 1 bằng 0 thì vận tốc của điểm sáng 2 mới giảm lần: $\left\{\begin{array}{l}{v}_1={\omega }_1\sqrt{A_1^2-x_1^2}=0\\ v_2={\omega }_2\sqrt{A_2^2-x_2^2}=\frac{{\omega }_2{A}_2}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1\\ x_2=\frac{A_2}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta có:

Từ đường tròn lượng giác ta thấy: cùng trong khoảng thời gian t, góc quét được của hai chất điểm lần lượt là: $\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_1={\omega }_{1}t=\frac{\pi }{2}\\ {\alpha }_2={\omega }_{2}t=\frac{\pi }{4}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=2\Rightarrow \frac{A_2}{A_1}=2$

− Thời điểm hai điểm sáng có cùng vận tốc: 

$\begin{array}{l}{\omega }_1{A}_1\cos \left({\omega }_{1}t\right)={\omega }_2{A}_2\cos \left({\omega }_{2}t\right)\\ \iff \cos \left({\omega }_{1}t\right)=\cos \left({\omega }_{2}t\right)\iff \left[\begin{array}{l}{\omega }_{1}t={\omega }_{2}t+k2\pi \\ {\omega }_{1}t={\omega }_{2}t+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}2{\omega }_{2}t={\omega }_{2}t+k2\pi \\ 2{\omega }_{2}t={\omega }_{2}t+k2\pi \end{array}\right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}t=\frac{k2\pi }{{\omega }_2}=k{T}_2\\ t=\frac{k2\pi }{3{\omega }_2}=\frac{k{T}_2}{3}=\frac{2k{T}_1}{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Với k = 0 → Thời điểm đầu tiên hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc.

Với k = 1 → Thời điểm tiếp theo hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc là: $t^{\text{'}}=\frac{T_2}{3}=\frac{2T_1}{3}$

→ Góc quét được tương ứng của hai chất điểm trên đường tròn: $\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_1={\omega }_{1}t=\frac{2\pi }{T_1}\frac{2T_1}{3}=\frac{4\pi }{3}\\ {\alpha }_2={\omega }_2{t}^{\text{'}}=\frac{2\pi }{T_2}\frac{T_2}{3}=\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.$

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác:

Từ đường tròn lượng giác ta có tỉ số độ lớn li độ của hai điểm sáng: $\frac{\left|x_1\right|}{\left|x_2\right|}=\frac{\frac{A_1\sqrt{3}}{2}}{\frac{A_2\sqrt{3}}{2}}=\frac{A_1}{A_2}=0,5$