Một sóng cơ truyền trên sợi dây dài, nằm ngang, dọc theo chiều dương của trục Ox với tốc độ truyền sóng là v và biên độ không đổi. Tại thời điểm $t_0=0,$ phần tử tại O bắt đầu dao động từ vị trí cân bằng theo chiều âm của trục Ou. Tại thời điểm t₁ = 0,3 s hình ảnh của một đoạn dây như hình vẽ. Khi đó vận tốc dao động của phần tử tại D là $v_D=\frac{\pi }{8}v$ và quãng đường phần tử E đã đi được là 24 cm. Biết khoảng cách cực đại giữa hai phần tử C, D là 5cm. Phương trình truyền sóng là 

Phương pháp: 

Thời điểm đầu tiên sóng bắt đầu từ 0 nên: $u_O=A.\cos \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)cm$

Sau thời gian t = 0,3s, sóng có dạng như hình vẽ, điểm O lại đang ở VTCB và chuyển động về biên âm nên: $t=0,3s=nT$

Dễ thấy từ 0 đến E là một bước sóng ứng với 6 ô li, nên sóng truyền từ 0 đến E mất thời gian 1 chu kì T. Vì vậy quãng đường mà E đi được trong thời gian trên là: $S=\left(n-1\right).4A$

Hai điểm C và D đều đang cách đỉnh sóng một khoảng nửa ô li nên biên độ của D là $x_D=\frac{\sqrt{3}}{2}A$ và vận tốc của D lúc đó là $v_D=\frac{1}{2}{v}_{max}=\frac{1}{2}.\omega A$

Vận tốc sóng $v=\lambda .f$

Khoảng cách giữa vtcb của C và D ứng với 1 ô li, khoảng cách giữa C và D là: $CD=\sqrt{d^2+{\left(u_C-u_D\right)}^2}$

Lời giải: 

Thời điểm đầu tiên sóng bắt đầu từ O nên: $u_O=A.\cos \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)cm$

Sau thời gian t = 0,3s, sóng có dạng như hình vẽ, điểm O lại đang ở vtcb và chuyển động về biên âm nên: $t=0,3s=nT$

Dễ thấy từ O đến E là một bước sóng ứng với 6 ô li, nên sóng truyền từ O đến E mất thời gian 1 chu kì T. Vì vậy quãng đường mà E đi được trong thời gian trên là: $S=\left(n-1\right).4A$

Hai điểm C và D đều đang cách đỉnh sóng một khoảng nửa ô li nên biên độ của D là $x_D=\frac{\sqrt{3}}{2}A$ và vận tốc của D lúc đó là: 

$v_D=\frac{1}{2}{v}_{max}=\frac{1}{2}\omega .A\Rightarrow \frac{1}{2}\omega A=\frac{\pi }{8}v=\frac{\pi }{8}.\lambda .f=\frac{\pi }{8}.\lambda .\frac{\omega }{2\pi }\Rightarrow \lambda =8A$

Ta có VTLG: 

Khoảng cách giữa VTCB của C và D ứng với 1 ô li tức là $CD=\frac{\lambda }{6}$ và $\alpha =\frac{\pi }{3},$

Khoảng cách giữa hai điểm C và D là: $CD=\sqrt{d^2+{\left(u_C-u_D\right)}^2}$

Khoảng cách giữa hai điểm C và D cực đại là 5 cm khi $\left(u_C-u_D\right)$ cực đại. 

Ta có: $u_C-u_D=A.\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{3}\right)\Rightarrow {\left(u_C-u_D\right)}_{\max }=A$

 $CD=\sqrt{d^2+{\left(u_C-u_D\right)}^2}\Rightarrow 5=\sqrt{{\left(\frac{\lambda }{6}\right)}^2+{\left(u_C-u_D\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{8A}{6}\right)}^2+A^2}\Rightarrow A=3cm\Rightarrow \lambda =8A=24cm$

Ta có: $S=\left(n-1\right).4A=24\Rightarrow n=3$

Lại có: $t=0,3s=3T\Rightarrow T=0,1s\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=20\pi \left(rad/s\right)$

Vậy ta có phương trình truyền sóng là: 

$u=3.\cos \left(20\pi t+\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi x}{24}\right)=3.\cos \left(20\pi t+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi x}{12}\right)cm$

Chọn C.