Cho các số dương x, y thỏa mãn 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7y+x37.

Đáp án: 127 Phương pháp giải: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn x3 theo y. - Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P. Giải chi tiết: Ta có: 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4 ⇔2x3+2x+2−2x−y−1=2x+y2x3+4x+4 ⇔2x3+2x+222x+y.2=2x+y2x3+2x+2 ⇔2x3+2x+2x3+2x+2=22x+y.2x+y* Xét ft=2t.t,t>0 ta có: f't=2t+t.2t.ln2>0;∀t>0. Do đó hàm số ft đồng biến trên 0;+∞. Do đó *⇔x3+2x+2=2x+y⇒x3=y−2. Khi đó P=7y+x37=7y+y−27=7y+y7−27≥27y.y7−27=127. Dấu “=” xảy ra ⇔7y=y7⇔y=7doy>0. Vậy: Pmin=127⇔x=53,y=7.

Câu hỏi:

12/07/2024 290

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: $\frac{12}{7}$

Phương pháp giải: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn $x^{3}$ theo $y$ .

- Thế vào biểu thức $P$ , sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức $P$ .

Giải chi tiết: Ta có: $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{3} + 2 x + 2 - 2 x - y - 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$

$\Leftrightarrow \frac{2^{x^{3} + 2 x + 2}}{2^{2 x + y} .2} = \frac{2 x + y}{2 (x^{3} + 2 x + 2)}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{3} + 2 x + 2} (x^{3} + 2 x + 2) = 2^{2 x + y} . (2 x + y) (*)$

Xét $f (t) = 2^{t} . t, t > 0$ ta có: $f^{'} (t) = 2^{t} + t {.2}^{t} . \ln 2 > 0; \forall t > 0$ .

Do đó hàm số $f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Do đó $(*) \Leftrightarrow x^{3} + 2 x + 2 = 2 x + y \Rightarrow x^{3} = y - 2$ .

Khi đó $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y - 2}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \geq 2 \sqrt{\frac{7}{y} . \frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7 (d o y > 0)$ .

Vậy:

P_{\min} = \frac{12}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5}, y = 7

.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

A. Chiến lược tăng tốc.

B. Chiến lược phòng ngự.

C. Chiến lược phòng thủ.

D. Chiến lược toàn cầu.

Xem đáp án » 23/05/2022 24,403

Câu 2:

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 12/07/2024 12,379

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

A. -8

B. -2

C. 2

D. 8

Xem đáp án » 09/05/2022 10,231

Câu 4:

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

A. Phân bố rất hợp lí giữa các vùng.

B. Phân bố thưa thớt ở các đồng bằng

C. Tập trung đông ở các vùng miền núi

D. Dân nông thôn nhiều hơn đô thị.

Xem đáp án » 25/05/2022 9,150

Câu 5:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Xem đáp án » 12/07/2024 8,432

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

A. $x = \frac{11}{2}$

B. $x = 5$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = 6$

Xem đáp án » 09/05/2022 6,566

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Xem đáp án » 12/07/2024 5,497

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho các số dương x, y thỏa mãn 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7y+x37.

Nhà sách VIETJACK:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số fx=x4x−12 có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số fx=12x−1. Tính f''1

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+4x−1 là:

Nghiệm của phương trình log32x−3=2 là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC'?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7}$ .

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?