Cho các số dương x, y thỏa mãn 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7y+x37.

Đáp án: 127 Phương pháp giải: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn x3 theo y. - Thế vào biểu thức P, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P. Giải chi tiết: Ta có: 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4 ⇔2x3+2x+2−2x−y−1=2x+y2x3+4x+4 ⇔2x3+2x+222x+y.2=2x+y2x3+2x+2 ⇔2x3+2x+2x3+2x+2=22x+y.2x+y* Xét ft=2t.t,t>0 ta có: f't=2t+t.2t.ln2>0;∀t>0. Do đó hàm số ft đồng biến trên 0;+∞. Do đó *⇔x3+2x+2=2x+y⇒x3=y−2. Khi đó P=7y+x37=7y+y−27=7y+y7−27≥27y.y7−27=127. Dấu “=” xảy ra ⇔7y=y7⇔y=7doy>0. Vậy: Pmin=127⇔x=53,y=7.

Câu hỏi:

12/07/2024 341

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án: $\frac{12}{7}$

Phương pháp giải: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn $x^{3}$ theo $y$ .

- Thế vào biểu thức $P$ , sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức $P$ .

Giải chi tiết: Ta có: $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{3} + 2 x + 2 - 2 x - y - 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$

$\Leftrightarrow \frac{2^{x^{3} + 2 x + 2}}{2^{2 x + y} .2} = \frac{2 x + y}{2 (x^{3} + 2 x + 2)}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{3} + 2 x + 2} (x^{3} + 2 x + 2) = 2^{2 x + y} . (2 x + y) (*)$

Xét $f (t) = 2^{t} . t, t > 0$ ta có: $f^{'} (t) = 2^{t} + t {.2}^{t} . \ln 2 > 0; \forall t > 0$ .

Do đó hàm số $f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Do đó $(*) \Leftrightarrow x^{3} + 2 x + 2 = 2 x + y \Rightarrow x^{3} = y - 2$ .

Khi đó $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y - 2}{7} = \frac{7}{y} + \frac{y}{7} - \frac{2}{7} \geq 2 \sqrt{\frac{7}{y} . \frac{y}{7}} - \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{7}{y} = \frac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7 (d o y > 0)$ .

Vậy:

P_{\min} = \frac{12}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5}, y = 7

.

Bình luận

Câu 1:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

A. Chiến lược tăng tốc.

B. Chiến lược phòng ngự.

C. Chiến lược phòng thủ.

D. Chiến lược toàn cầu.

Xem đáp án » 23/05/2022 25,029

Câu 2:

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án » 12/07/2024 13,077

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

A. -8

B. -2

C. 2

D. 8

Xem đáp án » 09/05/2022 13,057

Câu 4:

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

A. Phân bố rất hợp lí giữa các vùng.

B. Phân bố thưa thớt ở các đồng bằng

C. Tập trung đông ở các vùng miền núi

D. Dân nông thôn nhiều hơn đô thị.

Xem đáp án » 25/05/2022 11,076

Câu 5:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Xem đáp án » 12/07/2024 9,862

Câu 6:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

A. $x = \frac{11}{2}$

B. $x = 5$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = 6$

Xem đáp án » 09/05/2022 8,373

Câu 7:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

Xem đáp án » 07/04/2025 7,070

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7}$ .

Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Bình luận

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho các số dương x, y thỏa mãn 2x3−y+1=2x+y2x3+4x+4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7y+x37.

Bình luận

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Hàm số fx=x4x−12 có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số fx=12x−1. Tính f''1

Nhận định nào sau đây đúng về dân cư nước ta hiện nay?

Giá trị lớn nhất của hàm số y=−x2+4x−1 là:

Nghiệm của phương trình log32x−3=2 là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABCD và ABC'?

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số dương x, y thỏa mãn $2^{x^{3} - y + 1} = \frac{2 x + y}{2 x^{3} + 4 x + 4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{7}{y} + \frac{x^{3}}{7}$ .

Hàm số $f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{2} + 4 x - 1$ là:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A B C^{'})$ ?